Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
La juxtaposition des différentes bases ainsi trouvées forment une famille libre de vecteurs (voir le corollaire 2 page 57). Si cette famille contient n vecteurs elle est alors
aussi génératrice de M n,1 (K), elle constitue une base de vecteurs propres de la matrice
A qui est alors diagonalisable.
La matrice de passage P de la base canonique de M n,1 (K) à la nouvelle base a pour
vecteurs colonnes les vecteurs propres de A. La matrice diagonale P −1 AP a pour
termes diagonaux les valeurs propres associées aux différents vecteurs propres dans
l’ordre correspondant à celui des vecteurs colonnes de P.
Exercice 1.
Soit A =
⎛
⎝
5
2
4
−6 −1 −6
−3 −2 −2
⎞
⎠ . Déterminer les valeurs propres de la matrice A et si possible
diagonaliser A, on précisera la matrice de passage et son inverse.
Solution. Nous commençons, comme dans la recherche de l’inverse d’une matrice, par trianguler A − lI 3 où l est un réel quelconque ; dans ce calcul, nous ne cherchons pas à calculer
un inverse mais seulement à déterminer pour quelle valeur de l la matrice A − lI 3 n’est pas
inversible.
Nous avons
A − lI 3 =
⎛
⎝
5 − l
2
2
−6 −1 − l
−6
−3
−2
−2 − l
⎞
⎠ .
Échangeons en première étape les lignes L 1 et L 3 afin d’utiliser −3 comme coefficient non nul
(plutôt que 5−l qui peut être nul) pour annuler les autres coefficients de la première colonne.
⎛
⎝
−3
−2
−2 − l
−6 −1 − l
−6
5 − l
2
2
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
⎛
⎝
−3
−2
−2 − l
0
l − 3
2− 2l
0 2l − 4 l
2
− 3l + 2
⎞
⎠ L 2 ← 2L 1 − L 2
L 3 ← 3L 3 + (5 − l)L 1
Attention, si possible, il est recommandé d’éliminer l du coefficient diagonal de la deuxième
colonne de façon à pouvoir poursuivre le calcul avec un coefficient diagonal non nul.
⎛
⎝
−3
−2
−2 − l
0
2
l
2 + l − 2
0 2l − 4 l
2
− 3l + 2
⎞
⎠ L 2 ← L 3 − 2L 2
⎛
⎝
−3 −2
−2 − l
0
2 l
2 + l − 2
0
0
f (l)
⎞
⎠
L 3 ← L 3 − (l − 2)L 2 ,
avec f (l) = (l
2
− 3l + 2) − (l − 2)(l
2 + l − 2)
= −l
3 + 2l
2 + l − 2
= (l − 2)(1 − l)(1 + l)
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La juxtaposition des différentes bases ainsi trouvées forment une famille libre de vecteurs (voir le corollaire 2 page 57). Si cette famille contient n vecteurs elle est alors
aussi génératrice de M n,1 (K), elle constitue une base de vecteurs propres de la matrice
A qui est alors diagonalisable.
La matrice de passage P de la base canonique de M n,1 (K) à la nouvelle base a pour
vecteurs colonnes les vecteurs propres de A. La matrice diagonale P −1 AP a pour
termes diagonaux les valeurs propres associées aux différents vecteurs propres dans
l’ordre correspondant à celui des vecteurs colonnes de P.
Exercice 1.
Soit A =
⎛
⎝
5
2
4
−6 −1 −6
−3 −2 −2
⎞
⎠ . Déterminer les valeurs propres de la matrice A et si possible
diagonaliser A, on précisera la matrice de passage et son inverse.
Solution. Nous commençons, comme dans la recherche de l’inverse d’une matrice, par trianguler A − lI 3 où l est un réel quelconque ; dans ce calcul, nous ne cherchons pas à calculer
un inverse mais seulement à déterminer pour quelle valeur de l la matrice A − lI 3 n’est pas
inversible.
Nous avons
A − lI 3 =
⎛
⎝
5 − l
2
2
−6 −1 − l
−6
−3
−2
−2 − l
⎞
⎠ .
Échangeons en première étape les lignes L 1 et L 3 afin d’utiliser −3 comme coefficient non nul
(plutôt que 5−l qui peut être nul) pour annuler les autres coefficients de la première colonne.
⎛
⎝
−3
−2
−2 − l
−6 −1 − l
−6
5 − l
2
2
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
⎛
⎝
−3
−2
−2 − l
0
l − 3
2− 2l
0 2l − 4 l
2
− 3l + 2
⎞
⎠ L 2 ← 2L 1 − L 2
L 3 ← 3L 3 + (5 − l)L 1
Attention, si possible, il est recommandé d’éliminer l du coefficient diagonal de la deuxième
colonne de façon à pouvoir poursuivre le calcul avec un coefficient diagonal non nul.
⎛
⎝
−3
−2
−2 − l
0
2
l
2 + l − 2
0 2l − 4 l
2
− 3l + 2
⎞
⎠ L 2 ← L 3 − 2L 2
⎛
⎝
−3 −2
−2 − l
0
2 l
2 + l − 2
0
0
f (l)
⎞
⎠
L 3 ← L 3 − (l − 2)L 2 ,
avec f (l) = (l
2
− 3l + 2) − (l − 2)(l
2 + l − 2)
= −l
3 + 2l
2 + l − 2
= (l − 2)(1 − l)(1 + l)
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