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Diagonalisation des matrices carrées
Nous voulons déterminer les valeurs de l pour les quelles A − lI 2 n’est pas inversible ; pour cela nous cherchons à l’inverser par la méthode du pivot sans pour autant
calculer effectivement la matrice inverse. Échangeons les lignes L 1 et L 2 afin d’utiliser
2 comme pivot.
2
1+2i − l
1 − 2i − l
2
L 1 ↔ L 2
2 1 + 2i − l
0
P(l)
L 2 ← (1 − 2i − l)L 1 − 2L 2
avec P(l) = (1 − l − 2i)(1 − l + 2i) − 4
= (1 − l)
2
2 1 + 2i − l
0 (1 − l)
2
La matrice A − lI 2 n’est pas inversible si et seulement si l = 1, elle n’a donc qu’une
seule valeur propre : 1. Déterminons maintenant une base du sous-espace propre
associé à 1.
1 − 2i
2
2
1+2i
x
y
= 1
x
y
⇐⇒
−2ix + 2y = 0
2x + 2iy = 0
⇐⇒
x
y
=
1
i
.
La matrice A n’a qu’une seule valeur propre à laquelle est associé un espace propre
de dimension 1 ; la somme des dimensions des espaces propres est inférieur à 2 ; la
matrice A n’est pas diagonalisable.
4.4 La pratique de la diagonalisation des matrices
Nous avons par la proposition 13 ci-dessus établi le lien entre la réduction des endomorphismes et celle des matrices carrées ; nous pouvons donc utiliser les théorèmes
sur la diagonalisation des endomorphismes pour la diagonalisation des matrices en
remarquant que toute matrice A de M n (K) peut être considérée comme la matrice
de l’endomorphisme de M n,1 (K) qui lui est canoniquement associée. En particulier
les théorèmes 2 et 3 (pages 59, 60) nous permettrons de conclure quant à la possibilité
de diagonaliser une matrice.
Le théorème 5 lorsqu’il s’applique est très efficace.
En général, la diagonalisation d’une matrice A de M n (K) débute par la recherche
de ses valeurs propres : on utilise la méthode du pivot de Gauss pour rechercher
les valeurs du scalaire l pour lesquelles la matrice A − lI n n’est pas inversible (voir
proposition 4 ci-dessus).
Pour chaque valeur propre découverte, on recherche une base du sous-espace propre
qui lui est associé.
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Diagonalisation des matrices carrées
Nous voulons déterminer les valeurs de l pour les quelles A − lI 2 n’est pas inversible ; pour cela nous cherchons à l’inverser par la méthode du pivot sans pour autant
calculer effectivement la matrice inverse. Échangeons les lignes L 1 et L 2 afin d’utiliser
2 comme pivot.
2
1+2i − l
1 − 2i − l
2
L 1 ↔ L 2
2 1 + 2i − l
0
P(l)
L 2 ← (1 − 2i − l)L 1 − 2L 2
avec P(l) = (1 − l − 2i)(1 − l + 2i) − 4
= (1 − l)
2
2 1 + 2i − l
0 (1 − l)
2
La matrice A − lI 2 n’est pas inversible si et seulement si l = 1, elle n’a donc qu’une
seule valeur propre : 1. Déterminons maintenant une base du sous-espace propre
associé à 1.
1 − 2i
2
2
1+2i
x
y
= 1
x
y
⇐⇒
−2ix + 2y = 0
2x + 2iy = 0
⇐⇒
x
y
=
1
i
.
La matrice A n’a qu’une seule valeur propre à laquelle est associé un espace propre
de dimension 1 ; la somme des dimensions des espaces propres est inférieur à 2 ; la
matrice A n’est pas diagonalisable.
4.4 La pratique de la diagonalisation des matrices
Nous avons par la proposition 13 ci-dessus établi le lien entre la réduction des endomorphismes et celle des matrices carrées ; nous pouvons donc utiliser les théorèmes
sur la diagonalisation des endomorphismes pour la diagonalisation des matrices en
remarquant que toute matrice A de M n (K) peut être considérée comme la matrice
de l’endomorphisme de M n,1 (K) qui lui est canoniquement associée. En particulier
les théorèmes 2 et 3 (pages 59, 60) nous permettrons de conclure quant à la possibilité
de diagonaliser une matrice.
Le théorème 5 lorsqu’il s’applique est très efficace.
En général, la diagonalisation d’une matrice A de M n (K) débute par la recherche
de ses valeurs propres : on utilise la méthode du pivot de Gauss pour rechercher
les valeurs du scalaire l pour lesquelles la matrice A − lI n n’est pas inversible (voir
proposition 4 ci-dessus).
Pour chaque valeur propre découverte, on recherche une base du sous-espace propre
qui lui est associé.
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