Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
Preuve
1. Soit B2 une telle base. On sait que M B2 (u) = Diag(l1, . . . , ln). Mais on sait aussi que si l’on note P la
matrice de passage de B1 à B2, on a M B2 (u) = P −1 AP. D’où le résultat.
2. Soit P une telle matrice et B2 la base de E telle que P soit la matrice de passage de B1 à B2. On sait alors que
M B2 (u) = P −1 AP. On a donc M B2 (u) = Diag(l1, . . . , ln), autrement dit B2 est une base de E formée de
vecteurs propres de u associés aux valeurs propres l1, . . . , ln.
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4.3 Les matrices symétriques
Nous rappelons ces définitions de première année.
Définition 7
Soit A = (a i,j ) ∈ M n,p (K). On appelle transposée de A et on note
t A, la matrice
B = (b i,j ) ∈ M p,n (K) définie par b i,j = a j,i pour i ∈ Ú1, pÛ et j ∈ Ú1, nÛ.
Exemple
t
2 1 −5
−1 0
6
=
⎛
⎝
2 −1
1
0
−5
6
⎞
⎠ .
➤ Remarque
Soient A une matrice de Mn,p(K), il est clair que l’on a
t (
t A) = A.
Définition 8
On dit qu’une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée.
➤ Remarque
Nous pouvons remarquer qu’une matrice symétrique A = (a i,j ) est nécessairement carrée et que par rapport à la
diagonale, les coefficients qui se correspondent sont égaux, c’est-à-dire pour tout i et j, a i,j = a j,i .
Conformément au programme, nous admettons le théorème suivant.
Théorème 5
Toute matrice symétrique réelle de M n (R) est diagonalisable.
Nous verrons dans les exercices des exemples d’utilisation de ce théorème qui nous
garantit qu’une matrice symétrique réelle est diagonalisable. L’hypothèse matrice réelle
est indispensable voici un contre-exemple.
Exemple
Soit A =
1 − 2i
2
2
1+2i
. Déterminer les valeurs propres de la matrice symétrique A de
M 2 (C) et une base des sous-espaces propres de A ; la matrice A est-elle diagonalisable ?
Nous avons
A − lI 2 =
1 − 2i − l
2
2
1+2i − l
.
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