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Diagonalisation des matrices carrées
➤ Remarque
En particulier 0 est valeur propre de A si et seulement si A n’est pas inversible.
Corollaire 3
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.
Preuve
Soit A ∈ Mn(K) une matrice triangulaire supérieure, avec
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1,1 a1,2 . . .
a1,n
0
a2,2
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . . a n−1,n
0
. . .
0
an,n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
On a alors
A − lIn =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1,1 − l
a1,2
. . .
a1,n
0
a2,2 − l
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
a n−1,n
0
. . .
0
an,n − l
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Cette matrice est non inversible si, et seulement si, l’un de ses coefficients diagonaux est nul, c’est-à-dire si,
et seulement s’il existe un entier i ∈ Ú1, nÛ tel que l = a i,i . Les valeurs propres de A sont donc les scalaires a1,1, a2,2, . . . , an,n.
La démonstration est analogue pour une matrice triangulaire inférieure.
❑
4.2 Matrice diagonalisable
Définition 6
Une matrice A ∈ M n (K) est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible
P ∈ M n (K) telle que P
−1 AP soit une matrice diagonale.
➤ Remarque
Autrement dit, une matrice A ∈ Mn(K) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Proposition 13
Soit u ∈ L(E), B 1 une base de E et A = M B1 (u).
1. Soit B 2 une base de vecteurs propres de u associés aux valeurs propres l 1 , . . . , l n . En
notant P la matrice de passage de B 1 à B 2 , on a P
−1 AP = Diag(l 1 , . . . , l n ).
2. Soit P une matrice inversible de M n (K) telle que P
−1 AP = Diag(l 1 , . . . , l n ). On
note B 2 la base de E telle que P soit la matrice de passage de B 1 à B 2 . Cette base B 2
est une base de vecteurs propres de u associés aux valeurs propres l 1 , . . . , l n .
En particulier u est diagonalisable si, et seulement si, A est diagonalisable.
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