Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
On en déduit que
E 2 =
⎧
⎨
⎩
⎛
⎝
−y − z
y
z
⎞
⎠ | y, z ∈ K
⎫
⎬
⎭
=
⎧
⎨
⎩
y
⎛
⎝
−1
1
0
⎞
⎠ + z
⎛
⎝
−1
0
1
⎞
⎠ | y, z ∈ K
⎫
⎬
⎭
= Vect
⎛
⎝
⎛
⎝
−1
1
0
⎞
⎠ ,
⎛
⎝
−1
0
1
⎞
⎠
⎞
⎠ .
Les deux vecteurs étant non colinéaires, ils forment une base de E 2 .
Proposition 12
Soit E un espace de dimension n muni d’une base B et u un endomorphisme de E de
matrice A ∈ M n (K) relativement à la base B.
1. Un scalaire l est valeur propre de A si et seulement s’il est valeur propre de u.
2. Un vecteur x ∈ E est vecteur propre de u associé à la valeur propre l si et seulement
si le vecteur X des coordonnées de x dans la base B est un vecteur propre de A associé
à la valeur propre l.
Preuve
Soit x ∈ E un vecteur propre de u associé à la valeur propre l. On note X les coordonnées de x dans la base B.
Comme u(x) = lx, on a AX = lX et comme x = 0, X = 0. Donc X est un vecteur propre de A associé à la
valeur propre l.
Réciproquement soit X est un vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre l. Soit x ∈ E le vecteur
de coordonnées X dans la base B. Comme X = 0, on a x = 0, et comme AX = lX, on a u(x) = lx. Le vecteur
x est donc un vecteur propre de u associé à la valeur propre l.
❑
➤ Remarque
La proposition précédente est notamment très souvent utilisée dans le cas où u est l’endomorphisme de K
n
canoniquement associé à A.
Théorème 4
Soit A ∈ M n (K), un scalaire l est une valeur propre de A si, et seulement si, A − lI n
n’est pas inversible.
Preuve
Soit u l’endomorphisme de K
n canoniquement associé à A, on a alors
l est valeur propre de A ⇐⇒ l est valeur propre de u
⇐⇒ (u − l Id) n’est pas bijectif
⇐⇒ (A − lIn) n’est pas inversible.
❑
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