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Diagonalisation des matrices carrées
Exemple
Soit A =
⎛
⎝
3 1 1
1 3 1
1 1 3
⎞
⎠ .
On a
⎛
⎝
3 1 1
1 3 1
1 1 3
⎞
⎠
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
5
5
5
⎞
⎠ et
⎛
⎝
3 1 1
1 3 1
1 1 3
⎞
⎠
⎛
⎝
1
−1
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
2
−2
0
⎞
⎠ .
Le vecteur
⎛
⎝
1
1
1
⎞
⎠ est un vecteur propre de A associé à la valeur propre 5 et le vecteur
⎛
⎝
1
−1
0
⎞
⎠ est un vecteur propre de A associé à la valeur propre 2.
Proposition 11
Soit A ∈ M n (K) une matrice carrée et l ∈ K une valeur propre de A. L’ensemble E l
défini par
E l = {X ∈ M n,1 (K) | AX = lX}
est un sous-espace vectoriel de M n,1 (K).
E l s’appelle le sous-espace propre de A associé à la valeur propre l.
➤ Remarques
• En toute rigueur il faudrait noter cet ensemble E l (A), puisqu’il dépend aussi de A ; s’il n’y a pas d’ambiguïté,
on écrit seulement E l .
• On remarquera que l’équation AX = lX équivaut (A − lIn)X = 0.
Preuve
Soit l une valeur propre de A. L’application u de Mn,1(K) dans lui-même définie par u : X → (A − lIn)X est un
endomorphisme quelque soit le réel l.
L’ensemble E l est le noyau de l’application linéaire u, c’est donc un sous-espace vectoriel de Mn,1(K). De plus
E l = {0} puis qu’il contient au moins un vecteur colonne non nul. Il est donc au moins de dimension 1.
❑
Exemple
Reprenons la matrice A =
⎛
⎝
3 1 1
1 3 1
1 1 3
⎞
⎠ . Déterminons une base de E 2 . Soit X ∈ M 3,1 (K)
avec X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ , on a
X ∈ E 2 ⇐⇒ (A − 2I)X = 0 ⇐⇒
⎛
⎝
3 1 1
1 3 1
1 1 3
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ = 0
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
⇐⇒ x = −y − z.
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