Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
familles B1, B2, . . . , B k est une famille libre de vecteurs de E. Cette famille compte
k
i=1
dim(E li ) vecteurs.
C’est une famille libre de n vecteurs dans un espace de dimension n, c’est donc une base de E constituée de
vecteurs propres de u, u est diagonalisable.
⇐= Réciproquement, supposons que u soit un endomorphisme diagonalisable de E.
Soient B une base de vecteurs propres de u et l1, l2, . . . , l k les valeurs propres de u.
Pour i ∈ Ú1, kÛ, si la famille B contient p i vecteurs de E li , alors ces p i vecteurs forment une famille libre de
E li ; On en déduit que dim(E li ) p i . Par suite
k
i=1
dim(E li )
k
i=1
p i = Card(B) = dim(E).
Comme on a également
k
i=1
dim(E li ) dim(E), on en déduit finalement que
k
i=1
dim(E li ) = dim(E).
❑
3.3 Diagonalisation : une condition suffisante
Théorème 3
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme d’un espace E de dimension n.
On a alors l’implication
l’endomorphisme u possède n valeurs propres distinctes =⇒ u est diagonalisable.
Preuve
Soient x1, x2, . . . , xn des vecteurs propres de u associés aux n valeurs propres distinctes de u. On sait que la
famille (x1, x2, . . . , xn) est une famille libre de E. Cette famille étant une famille libre de n vecteurs dans un
espace de dimension n, c’est une base de E, qui est bien formée de vecteurs propres de u.
❑
➤ Remarque
La réciproque de ce théorème n’est pas vraie. Par exemple 1 est la seule valeur propre de IdE, or IdE est diagonalisable. Nous pouvons donc dire qu’avoir n valeurs propres distinctes est une condition suffisante (mais pas
nécessaire) pour que u soit diagonalisable.
4. Diagonalisation des matrices carrées
4.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice
Définition 5
Soit A ∈ M n (K). Un scalaire l ∈ K est dit valeur propre de A s’il existe un vecteur
colonne X ∈ M n,1 (K) non nul telle que AX = lX. Un tel vecteur colonne est alors
appelé vecteur propre de A associé à la valeur propre l.
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