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Réduction des endomorphismes
vecteur non nul est un vecteur propre associé à la valeur propre k, toute base de E est constituée
de vecteurs propres et u est diagonalisable.
➤ Remarque
Attention, il existe des endomorphisme qui ne sont pas diagonalisables.
Par exemple l’endomorphisme D de Kn[X] qui à un polynôme P associe son polynôme dérivé P (dernier exemple
ci-dessus) a comme unique valeur propre le réel 0 ; les seuls vecteurs propres de D sont les polynômes constants
dont la dérivée est nulle, il n’est pas possible de trouver parmi eux les éléments d’une base de Kn[X] si n est
supérieur à 0 et l’endomorphisme D de Kn[X] n’est pas diagonalisable pour n > 0.
Proposition 10
Un endomorphisme u ∈ L(E) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base B de
E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Preuve
Supposons que u soit diagonalisable. Il existe une base B = (e1, . . . , en) de E formée de vecteurs propres de E.
Notons l1, l2, . . . , ln les scalaires associés aux vecteurs de la base tels que u(e i ) = l i e i pour i ∈ Ú1, nÛ. On a
alors
M B (u) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l1
0
. . . 0
0
l2
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
0
0
. . .
0
ln
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Réciproquement, si B = (e1, . . . , en) est une base de E telle que la matrice de u dans cette base s’écrive
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l1
0
. . . 0
0
l2
. . .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
0
0
. . .
0
ln
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
alors pour i ∈ Ú1, nÛ, comme e i appartient à une base e i = 0 et par définition de la matrice d’une application
linéaire u(e i ) = l i e i . Autrement dit les vecteurs de la base B sont des vecteurs propres de u.
❑
3.2 Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante
Théorème 2
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme d’un espace E de dimension n dont les valeurs propres
sont l 1 , l 2 , . . . , l k . On a alors l’équivalence
k
i=1
dim(E li ) = n ⇐⇒ u est diagonalisable .
Preuve
=⇒ Supposons que l’on ait
k
i=1
dim(E li ) = dim(E) = n.
Notons, pour tout i ∈ Ú1, kÛ, B i une base de E li ; nous savons que la famille B obtenue en juxtaposant les
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Réduction des endomorphismes
vecteur non nul est un vecteur propre associé à la valeur propre k, toute base de E est constituée
de vecteurs propres et u est diagonalisable.
➤ Remarque
Attention, il existe des endomorphisme qui ne sont pas diagonalisables.
Par exemple l’endomorphisme D de Kn[X] qui à un polynôme P associe son polynôme dérivé P (dernier exemple
ci-dessus) a comme unique valeur propre le réel 0 ; les seuls vecteurs propres de D sont les polynômes constants
dont la dérivée est nulle, il n’est pas possible de trouver parmi eux les éléments d’une base de Kn[X] si n est
supérieur à 0 et l’endomorphisme D de Kn[X] n’est pas diagonalisable pour n > 0.
Proposition 10
Un endomorphisme u ∈ L(E) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base B de
E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Preuve
Supposons que u soit diagonalisable. Il existe une base B = (e1, . . . , en) de E formée de vecteurs propres de E.
Notons l1, l2, . . . , ln les scalaires associés aux vecteurs de la base tels que u(e i ) = l i e i pour i ∈ Ú1, nÛ. On a
alors
M B (u) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l1
0
. . . 0
0
l2
. . .
.
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0
0
. . .
0
ln
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Réciproquement, si B = (e1, . . . , en) est une base de E telle que la matrice de u dans cette base s’écrive
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l1
0
. . . 0
0
l2
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0
0
. . .
0
ln
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
alors pour i ∈ Ú1, nÛ, comme e i appartient à une base e i = 0 et par définition de la matrice d’une application
linéaire u(e i ) = l i e i . Autrement dit les vecteurs de la base B sont des vecteurs propres de u.
❑
3.2 Diagonalisation : une condition nécessaire et suffisante
Théorème 2
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme d’un espace E de dimension n dont les valeurs propres
sont l 1 , l 2 , . . . , l k . On a alors l’équivalence
k
i=1
dim(E li ) = n ⇐⇒ u est diagonalisable .
Preuve
=⇒ Supposons que l’on ait
k
i=1
dim(E li ) = dim(E) = n.
Notons, pour tout i ∈ Ú1, kÛ, B i une base de E li ; nous savons que la famille B obtenue en juxtaposant les
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