Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
Preuve
Il suffit de remarquer, avec les notations de la démonstration précédente, que Card(F) =
k
i=1
dim(E li )
❑
Théorème 1
Tout endomorphisme d’un espace vectoriel sur l’ensemble des nombres complexes C admet au
moins une valeur propre.
Preuve
Nous admettons ce théorème dont la démonstration est hors programme.
❑
➤ Remarque
Un endomorphisme d’un espace vectoriel sur R peut ne pas avoir de valeur propre.
Exemples
1. Considérons deux sous-espaces vectoriels F 1 et F 2 non réduits à {0} d’un espace vectoriel
E de dimension finie tels que E = F 1 ⊕ F 2 .
Nous savons que x ∈ F 1 ⇐⇒ p(x) = x, donc 1 est une valeur propre de p et F 1 est le sous
espace propre associé à la valeur propre 1.
Nous avons aussi Ker(p) = F 2 non réduit à {0}, 0 est donc une valeur propre de p et F 2
est le sous espace propre qui lui est associé.
2. Soit D, l’endomorphisme de R n [X], qui à tout polynôme P de R n [X] associe son polynôme
dérivé P
. Le noyau de D est l’ensemble R 0 [X] des polynômes constants, 0 est donc une
valeur propre de D et R 0 [X] est le sous-espace propre qui lui est associé.
Considérons maintenant dans R n [X] un polynôme P non constant dont le degré est donc
supérieur ou égal à 1 et un réel non nul l. on a alors
deg(lP) = deg(P) > deg(P
).
L’égalité P
= D(P) = lP est donc impossible, l’endomorphisme D a donc 0 comme seule
valeur propre.
3. Réduction des endomorphismes
3.1 Endomorphismes diagonalisables
Définition 4
Un endomorphisme u ∈ L(E) est dit diagonalisable s’il existe une base de E formée de
vecteurs propres de u, c’est-à-dire s’il existe une base (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de E telle que pour
tout i ∈ Ú1, nÛ, e i soit un vecteur propre de u.
Exemple
Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle, k un réel fixé et u l’endomorphisme
de E défini par u : x → kx. L’endomorphisme u est appelé homothétie de rapport k, tout
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Preuve
Il suffit de remarquer, avec les notations de la démonstration précédente, que Card(F) =
k
i=1
dim(E li )
❑
Théorème 1
Tout endomorphisme d’un espace vectoriel sur l’ensemble des nombres complexes C admet au
moins une valeur propre.
Preuve
Nous admettons ce théorème dont la démonstration est hors programme.
❑
➤ Remarque
Un endomorphisme d’un espace vectoriel sur R peut ne pas avoir de valeur propre.
Exemples
1. Considérons deux sous-espaces vectoriels F 1 et F 2 non réduits à {0} d’un espace vectoriel
E de dimension finie tels que E = F 1 ⊕ F 2 .
Nous savons que x ∈ F 1 ⇐⇒ p(x) = x, donc 1 est une valeur propre de p et F 1 est le sous
espace propre associé à la valeur propre 1.
Nous avons aussi Ker(p) = F 2 non réduit à {0}, 0 est donc une valeur propre de p et F 2
est le sous espace propre qui lui est associé.
2. Soit D, l’endomorphisme de R n [X], qui à tout polynôme P de R n [X] associe son polynôme
dérivé P
. Le noyau de D est l’ensemble R 0 [X] des polynômes constants, 0 est donc une
valeur propre de D et R 0 [X] est le sous-espace propre qui lui est associé.
Considérons maintenant dans R n [X] un polynôme P non constant dont le degré est donc
supérieur ou égal à 1 et un réel non nul l. on a alors
deg(lP) = deg(P) > deg(P
).
L’égalité P
= D(P) = lP est donc impossible, l’endomorphisme D a donc 0 comme seule
valeur propre.
3. Réduction des endomorphismes
3.1 Endomorphismes diagonalisables
Définition 4
Un endomorphisme u ∈ L(E) est dit diagonalisable s’il existe une base de E formée de
vecteurs propres de u, c’est-à-dire s’il existe une base (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de E telle que pour
tout i ∈ Ú1, nÛ, e i soit un vecteur propre de u.
Exemple
Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle, k un réel fixé et u l’endomorphisme
de E défini par u : x → kx. L’endomorphisme u est appelé homothétie de rapport k, tout
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