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Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme
En effectuant l k+1 L1 − L2, on trouve
k
i=1
a i (l k+1 − l i )x i = 0.
D’après l’hypothèse de récurrence, la famille (x1, . . . , x k ) est libre. Nous en déduisons que a i (l k+1 − l i ) = 0
pour i ∈ Ú1, kÛ. Comme les valeurs propres sont distinctes l k+1 − l i = 0 et donc a i = 0 pour i ∈ Ú1, kÛ. Il reste
donc finalement a k+1 x k+1 = 0. Puisque x k+1 est un vecteur propre, il est non nul, nous avons donc également
a k+1 = 0. Cela prouve que la famille (x1, . . . , x k+1 ) est libre. La propriété est donc prouvée par récurrence.
❑
Corollaire 1
Tout endomorphisme d’un espace de dimension n a au plus n valeurs propres.
Proposition 9
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E admettant pour valeurs propres
l 1 , . . . , l k . Soient B 1 , . . . , B k des bases de E l1 , . . . , E lk . La famille de vecteurs obtenue
en juxtaposant les vecteurs des bases B 1 , . . . , B k est une famille libre de vecteurs de E.
Preuve
Pour tout i ∈ Ú1, kÛ, notons B i = (e
i
1 , e
i
2 , . . . , e
i
pi ) une base du sous espace propre E li .
Soit F la famille de vecteur obtenue en juxtaposant les vecteurs de ces bases.
Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de F avec les scalaires (a i,j ) 1ik
1jp i
k
i=1
pk
j=1
a i,j e
i
j = 0.
Pour i ∈ Ú1, kÛ, posons x i =
pi
j=1
a i,j e
i
j ; pour chaque valeur propre l i , nous regroupons ainsi tous les termes
associés à cette même valeur propre ; x i est donc un vecteur de E li .
Nous avons alors
k
i=1
x i = 0 avec x i ∈ E li . Si l’un des vecteurs x i était non nul, on aurait alors une combinaison
linéaire nulle non triviale de vecteurs propres de u associés à des valeurs propres distinctes. C’est impossible
puisque ces vecteurs forment une famille libre d’après la proposition précédente.
Pour tout i ∈ Ú1, kÛ, on a donc x i = 0 ; comme la famille B i est une base de E li , il vient pour tout i ∈ Ú1, kÛ et
tout j ∈ Ú1, p k Û, l’égalité a i,j = 0. Cela prouve que F est une famille libre.
❑
Corollaire 2
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E admettant pour valeurs propres
l 1 , . . . , l k et soit E l1 , . . . , E lk les espaces propres associés.
On a
k
i=1
dim(E li ) dim(E).
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Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme
En effectuant l k+1 L1 − L2, on trouve
k
i=1
a i (l k+1 − l i )x i = 0.
D’après l’hypothèse de récurrence, la famille (x1, . . . , x k ) est libre. Nous en déduisons que a i (l k+1 − l i ) = 0
pour i ∈ Ú1, kÛ. Comme les valeurs propres sont distinctes l k+1 − l i = 0 et donc a i = 0 pour i ∈ Ú1, kÛ. Il reste
donc finalement a k+1 x k+1 = 0. Puisque x k+1 est un vecteur propre, il est non nul, nous avons donc également
a k+1 = 0. Cela prouve que la famille (x1, . . . , x k+1 ) est libre. La propriété est donc prouvée par récurrence.
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Corollaire 1
Tout endomorphisme d’un espace de dimension n a au plus n valeurs propres.
Proposition 9
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E admettant pour valeurs propres
l 1 , . . . , l k . Soient B 1 , . . . , B k des bases de E l1 , . . . , E lk . La famille de vecteurs obtenue
en juxtaposant les vecteurs des bases B 1 , . . . , B k est une famille libre de vecteurs de E.
Preuve
Pour tout i ∈ Ú1, kÛ, notons B i = (e
i
1 , e
i
2 , . . . , e
i
pi ) une base du sous espace propre E li .
Soit F la famille de vecteur obtenue en juxtaposant les vecteurs de ces bases.
Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de F avec les scalaires (a i,j ) 1ik
1jp i
k
i=1
pk
j=1
a i,j e
i
j = 0.
Pour i ∈ Ú1, kÛ, posons x i =
pi
j=1
a i,j e
i
j ; pour chaque valeur propre l i , nous regroupons ainsi tous les termes
associés à cette même valeur propre ; x i est donc un vecteur de E li .
Nous avons alors
k
i=1
x i = 0 avec x i ∈ E li . Si l’un des vecteurs x i était non nul, on aurait alors une combinaison
linéaire nulle non triviale de vecteurs propres de u associés à des valeurs propres distinctes. C’est impossible
puisque ces vecteurs forment une famille libre d’après la proposition précédente.
Pour tout i ∈ Ú1, kÛ, on a donc x i = 0 ; comme la famille B i est une base de E li , il vient pour tout i ∈ Ú1, kÛ et
tout j ∈ Ú1, p k Û, l’égalité a i,j = 0. Cela prouve que F est une famille libre.
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Corollaire 2
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E admettant pour valeurs propres
l 1 , . . . , l k et soit E l1 , . . . , E lk les espaces propres associés.
On a
k
i=1
dim(E li ) dim(E).
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