Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
Preuve
Soit l une valeur propre de u.
Nous avons pour x ∈ E
x ∈ E l ⇐⇒ u(x) − lx = 0
⇐⇒ (u − l IdE)(x) = 0
⇐⇒ x ∈ Ker(u − l IdE).
Nous avons donc E l = Ker(u − l IdE) qui est un espace vectoriel.
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➤ Remarque
On en déduit que
l est valeur propre de u ⇐⇒ Ker(u − l IdE) = {0}
⇐⇒ u − l IdE n’est pas injective
⇐⇒ u − l IdE n’est pas bijective.
Proposition 7
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E.
L’endomorphisme u est injectif (et donc bijectif) si, et seulement si, u n’admet pas 0
comme valeur propre.
Preuve
Il suffit de reprendre la remarque ci-dessus avec 0 substitué à l.
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2.2 Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
Proposition 8
Soient u ∈ L(E) un endomorphisme de E et l 1 , l 2 , . . . , l k des valeurs propres de u distinctes deux à deux et x 1 , x 2 , . . . , x k des vecteurs propres associés respectivement associés
à l 1 , l 2 , . . . , l k . La famille (x 1 , x 2 , . . . , x k ) est une famille libre.
Preuve
Prouvons-le par récurrence sur k.
C’est vrai pour k = 1 puisqu’un vecteur propre n’est pas nul.
Supposons la propriété vérifiée au rang k et montrons qu’elle est vraie au rang k + 1. Soit (x1, x2, . . . , x k+1 ) des
vecteurs propres de u associés à des valeurs propres distinctes l1, l2, . . . , l k+1 et considérons une combinaison
linéaire nulle de ces vecteurs avec les scalaires a1, a2, . . . , a k+1
k+1
i=1
a i x i = 0.
L1
En composant cette égalité par u, on obtient
k+1
i=1
a i u(x i ) = 0 soit
k+1
i=1
a i l i x i = 0.
L2
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