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Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme
➤ Remarque
Il s’agit d’une forme de produit télescopique.
Preuve
Prouvons-la par récurrence sur k.
Au rang 0, on a bien B
0 = In et P −1 A
0 P = P −1 InP = P −1 P = In.
Supposons que l’on ait B
k = P −1 A
k P, alors
B
k+1 = BB
k = P
−1 APP
−1 A
k P = P
−1 AA
k P = P
−1 A
k+1 P,
ce qui prouve la propriété au rang k + 1.
On en déduit que ∀k ∈ N, B
k = P −1 A
k P.
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2. Valeurs et vecteurs propres d’un endomorphisme
Maintenant que nous savons comment calculer la matrice d’un endomorphisme u en cas de
changement de base, il devient intéressant de rechercher les bases dans lesquelles la matrice de u
serait aussi simple que possible.
2.1 Définitions
Définition 3
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Un scalaire l ∈ K est une valeur propre de u
s’il existe un vecteur x ∈ E non nul tel que u(x) = lx. Un tel vecteur x est alors appelé
un vecteur propre de u associé à la valeur propre l.
➤ Remarques
• Dans cette définition, la condition x = 0 est essentielle. Si nous n’imposions pas au vecteur propre x d’être non
nul, tout réel l conviendrait et nous n’aurions rien défini.
• Un vecteur propre x associé à une valeur propre l est un vecteur pour lequel l’endomorphisme u a un comportement extrêmement simple.
• L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme u est appelé le spectre de u et est noté Sp(u).
Proposition 6
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme et l une valeur propre de u. L’ensemble E l défini par
E l = {x ∈ E | u(x) = lx}
est un sous-espace vectoriel de E.
E l s’appelle le sous-espace propre de u associé à la valeur propre l ; on a
E l = Ker(u − l Id E ).
➤ Remarques
• En toute rigueur il faudrait noter cet ensemble E l (u) puisqu’il dépend aussi de u, mais, s’il n’y a pas d’ambiguïté,
on écrira seulement E l .
• Le scalaire l est valeur propre de u si et seulement si l’ensemble {x ∈ E | u(x) = lx} n’est pas réduit à
{0}. Dans ce cas E l est l’ensemble des vecteurs propres de u associés à la valeur propre l auquel on ajoute le
vecteur nul.
• L’espace E étant de dimension finie, le sous-espace E l est de dimension finie. Comme il contient au moins un
vecteur non nul, sa dimension est au moins égale à 1.
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