Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
coordonnées. Écrivons de deux façons différentes la matrice Y.
d’une part
Y = MX
d’autre part
Y = PY
= P(M
X
)
= (PM
)X
= (PM
)(P
−1 X)
= (PM
P
−1 )X
L’unicité de la matrice de u relativement à la base B1 nous donne M = PM P −1 .
❑
1.4 Matrices semblables
Définition 2
Deux matrices M et M
de M n (K) sont dites semblables s’il existe une matrice P inversible
de M n (K) telle que
M = PM
P
−1 .
➤ Remarque
La définition n’est apparemment pas symétrique en M et M . Cependant, si l’on a M = PM P −1 , alors en multipliant par P −1 à gauche et P à droite, on trouve que PMP −1 = M . En posant Q = P −1 , on a donc M = Q −1 MQ,
ce qui prouve que l’ordre est en fait indifférent dans la définition.
Proposition 4
Deux matrices de M n (K) sont semblables si, et seulement si, elles sont les matrices d’un
même endomorphisme.
Preuve
D’après la proposition 3, on sait que si M et M sont les matrices d’un même endomorphisme, alors M et M
sont des matrices semblables.
Réciproquement soient M et M deux matrices de Mn(K) et P une matrice inversible de Mn(K) telles que
M = PM P −1 . On note u l’application linéaire canoniquement associée à M qui est un endomorphisme de K
n
et B1 la base canonique de K
n .
Définissons les n vecteurs (´1, . . . , ´n) dont les coordonnées sur la base canonique B1 de K
n sont respectivement
les n vecteurs colonnes de la matrice P. La matrice P étant inversible, ses vecteurs colonnes forment une base
B2 de K
n et P est la matrice de passage de la base B1 à la base B2. Nous avons M B1 (u) = M, et d’après la
proposition 3, on a
M B2 (u) = P
−1 M B1 (u)P = P
−1 MP = M
.
Les matrices M et M sont donc les matrices d’un même endomorphisme u.
❑
Signalons enfin la propriété suivante :
Proposition 5
Soient A, B deux matrices de M n (K) et P une matrice inversible de M n (K) telles que
B = P
−1 AP, alors
∀k ∈ N, B
k = P
−1 A
k P.
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coordonnées. Écrivons de deux façons différentes la matrice Y.
d’une part
Y = MX
d’autre part
Y = PY
= P(M
X
)
= (PM
)X
= (PM
)(P
−1 X)
= (PM
P
−1 )X
L’unicité de la matrice de u relativement à la base B1 nous donne M = PM P −1 .
❑
1.4 Matrices semblables
Définition 2
Deux matrices M et M
de M n (K) sont dites semblables s’il existe une matrice P inversible
de M n (K) telle que
M = PM
P
−1 .
➤ Remarque
La définition n’est apparemment pas symétrique en M et M . Cependant, si l’on a M = PM P −1 , alors en multipliant par P −1 à gauche et P à droite, on trouve que PMP −1 = M . En posant Q = P −1 , on a donc M = Q −1 MQ,
ce qui prouve que l’ordre est en fait indifférent dans la définition.
Proposition 4
Deux matrices de M n (K) sont semblables si, et seulement si, elles sont les matrices d’un
même endomorphisme.
Preuve
D’après la proposition 3, on sait que si M et M sont les matrices d’un même endomorphisme, alors M et M
sont des matrices semblables.
Réciproquement soient M et M deux matrices de Mn(K) et P une matrice inversible de Mn(K) telles que
M = PM P −1 . On note u l’application linéaire canoniquement associée à M qui est un endomorphisme de K
n
et B1 la base canonique de K
n .
Définissons les n vecteurs (´1, . . . , ´n) dont les coordonnées sur la base canonique B1 de K
n sont respectivement
les n vecteurs colonnes de la matrice P. La matrice P étant inversible, ses vecteurs colonnes forment une base
B2 de K
n et P est la matrice de passage de la base B1 à la base B2. Nous avons M B1 (u) = M, et d’après la
proposition 3, on a
M B2 (u) = P
−1 M B1 (u)P = P
−1 MP = M
.
Les matrices M et M sont donc les matrices d’un même endomorphisme u.
❑
Signalons enfin la propriété suivante :
Proposition 5
Soient A, B deux matrices de M n (K) et P une matrice inversible de M n (K) telles que
B = P
−1 AP, alors
∀k ∈ N, B
k = P
−1 A
k P.
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