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Changement de base
➤ Remarque
Attention, on retiendra que la matrice de passage P d’une ancienne base vers une nouvelle base a pour vecteurs
colonnes les coordonnées des nouveaux vecteurs sur l’ancienne base, c’est logique nous construisons le nouveau
sur l’existant.
Ceci bien retenu, la matrice P permet de retrouver les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles ; pour
trouver les nouvelles coordonnées, nous multiplions à gauche par P −1 l’égalité ci-dessus pour obtenir X = P −1 X.
Preuve
Il suffit d’écrire la décomposition du vecteur x sur les deux bases. Avec les mêmes notations que précédemment,
nous avons
d’une part
x =
n
i=1
x i e i
d’autre part
x =
n
j=1
x
j ´ j
=
n
j=1
x
j
n
i=1
p i,j e i
=
n
i=1
⎛
⎝
n
j=1
p i,j x
j
⎞
⎠ e i
L’unicité des coordonnées de x sur la base B1 = (e1, . . . , en) nous permet de conclure que pour tout i ∈ Ú1, nÛ
nous avons x i =
n
j=1
p i,j x
j , c’est-à-dire que X = PX .
❑
1.3 La nouvelle et l’ancienne matrice d’un endomorphisme
Proposition 3
Soit E un espace vectoriel muni d’une base B 1 et u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Soit
B 2 une nouvelle base de E.
On note M = M B1 (u) l’ancienne matrice de u relativement à la base B 1 et M
= M B2 (u)
la nouvelle matrice de u relativement à la base B 2 .
Soit P la matrice de passage de B 1 à B 2 .
On a la relation
M = PM
P
−1 .
➤ Remarque
Attention, on retiendra que la matrice de passage P d’une ancienne base vers une nouvelle base a pour vecteurs
colonnes les coordonnées des nouveaux vecteurs sur l’ancienne base, c’est logique nous construisons le nouveau
sur l’existant.
Ceci bien retenu, la relation ci-dessus permet de retrouver l’ancienne matrice de u en fonction de la nouvelle ;
pour trouver la nouvelle matrice de u, nous multiplions à gauche par P −1 et à droite par P l’égalité ci-dessus pour
obtenir M = P −1 MP.
Preuve
Pour tout vecteur x ∈ E, notons y = u(x) son image par l’endomorphisme u ; notons aussi X et Y les matrices
colonnes des anciennes coordonnées de x et y et encore X et Y les matrices colonnes de leur nouvelles
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Changement de base
➤ Remarque
Attention, on retiendra que la matrice de passage P d’une ancienne base vers une nouvelle base a pour vecteurs
colonnes les coordonnées des nouveaux vecteurs sur l’ancienne base, c’est logique nous construisons le nouveau
sur l’existant.
Ceci bien retenu, la matrice P permet de retrouver les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles ; pour
trouver les nouvelles coordonnées, nous multiplions à gauche par P −1 l’égalité ci-dessus pour obtenir X = P −1 X.
Preuve
Il suffit d’écrire la décomposition du vecteur x sur les deux bases. Avec les mêmes notations que précédemment,
nous avons
d’une part
x =
n
i=1
x i e i
d’autre part
x =
n
j=1
x
j ´ j
=
n
j=1
x
j
n
i=1
p i,j e i
=
n
i=1
⎛
⎝
n
j=1
p i,j x
j
⎞
⎠ e i
L’unicité des coordonnées de x sur la base B1 = (e1, . . . , en) nous permet de conclure que pour tout i ∈ Ú1, nÛ
nous avons x i =
n
j=1
p i,j x
j , c’est-à-dire que X = PX .
❑
1.3 La nouvelle et l’ancienne matrice d’un endomorphisme
Proposition 3
Soit E un espace vectoriel muni d’une base B 1 et u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Soit
B 2 une nouvelle base de E.
On note M = M B1 (u) l’ancienne matrice de u relativement à la base B 1 et M
= M B2 (u)
la nouvelle matrice de u relativement à la base B 2 .
Soit P la matrice de passage de B 1 à B 2 .
On a la relation
M = PM
P
−1 .
➤ Remarque
Attention, on retiendra que la matrice de passage P d’une ancienne base vers une nouvelle base a pour vecteurs
colonnes les coordonnées des nouveaux vecteurs sur l’ancienne base, c’est logique nous construisons le nouveau
sur l’existant.
Ceci bien retenu, la relation ci-dessus permet de retrouver l’ancienne matrice de u en fonction de la nouvelle ;
pour trouver la nouvelle matrice de u, nous multiplions à gauche par P −1 et à droite par P l’égalité ci-dessus pour
obtenir M = P −1 MP.
Preuve
Pour tout vecteur x ∈ E, notons y = u(x) son image par l’endomorphisme u ; notons aussi X et Y les matrices
colonnes des anciennes coordonnées de x et y et encore X et Y les matrices colonnes de leur nouvelles
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