Chapitre 3 – Réduction des endomorphismes et des matrices
On en déduit que
P B1,B2 =
⎛
⎜
⎝
1 −1
1 −1
0
1 −2
3
0
0
1 −3
0
0
0
1
⎞
⎟
⎠ .
Proposition 1
Soient B 1 et B 2 deux bases de E, la matrice P B1,B2 est inversible et son inverse est P B2,B1 .
Preuve
Notons comme précédemment B1 = (e1, . . . , en) et B2 = (´1, . . . , ´n) les deux bases de E, notons
P B1,B2 = (p i,j ) 1in
1jn
et P B2,B1 = (q k,i ) 1kn
1in
.
Par définition des matrices de passage, nous avons pour tout i, j, k dans Ú1, nÛ
´ j =
n
i=1
p i,j e i
et
e i =
n
k=1
q k,i ´ k .
D’où nous avons
´ j =
n
i=1
p i,j
n
k=1
q k,i ´ k
=
n
i=1
n
k=1
(p i,j q k,i )´ k
=
n
k=1
n
i=1
(q k,i p i,j )´ k
=
n
k=1
n
i=1
q k,i p i,j
´ k
Dans la base (´1, . . . , ´n), l’écriture unique de ´ j est ´ j = 0´1 + · · · + 1´ j + · · · + 0´n.
Donc pour tout k et j dans Ú1, nÛ, les sommes
n
i=1
q k,i p i,j sont nulles sauf si j = k où elles sont égales à 1. Nous
pouvons reconnaître dans ces sommes les coefficients du produit de matrices (P B2,B1 )(P B1,B2 ) qui est donc égal
à la matrice unité In.
Par un calcul similaire, nous obtenons (P B1,B2 )(P B2,B1 ) = In, ce qui démontre la proposition.
❑
1.2 Les nouvelles et anciennes coordonnées d’un même vecteur
Proposition 2
Soit E un espace vectoriel muni d’une base B 1 et x un vecteur de E. Soit B 2 une nouvelle
base de E. On note
X =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
. . .
x n
⎞
⎟
⎟
⎠ et X
=
⎛
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
. . .
x
n
⎞
⎟
⎟
⎠ les coordonnées de x dans les bases B 1 et B 2 respectivement.
Soit P la matrice de passage de B 1 à B 2 .
On a la relation
X = PX
.
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On en déduit que
P B1,B2 =
⎛
⎜
⎝
1 −1
1 −1
0
1 −2
3
0
0
1 −3
0
0
0
1
⎞
⎟
⎠ .
Proposition 1
Soient B 1 et B 2 deux bases de E, la matrice P B1,B2 est inversible et son inverse est P B2,B1 .
Preuve
Notons comme précédemment B1 = (e1, . . . , en) et B2 = (´1, . . . , ´n) les deux bases de E, notons
P B1,B2 = (p i,j ) 1in
1jn
et P B2,B1 = (q k,i ) 1kn
1in
.
Par définition des matrices de passage, nous avons pour tout i, j, k dans Ú1, nÛ
´ j =
n
i=1
p i,j e i
et
e i =
n
k=1
q k,i ´ k .
D’où nous avons
´ j =
n
i=1
p i,j
n
k=1
q k,i ´ k
=
n
i=1
n
k=1
(p i,j q k,i )´ k
=
n
k=1
n
i=1
(q k,i p i,j )´ k
=
n
k=1
n
i=1
q k,i p i,j
´ k
Dans la base (´1, . . . , ´n), l’écriture unique de ´ j est ´ j = 0´1 + · · · + 1´ j + · · · + 0´n.
Donc pour tout k et j dans Ú1, nÛ, les sommes
n
i=1
q k,i p i,j sont nulles sauf si j = k où elles sont égales à 1. Nous
pouvons reconnaître dans ces sommes les coefficients du produit de matrices (P B2,B1 )(P B1,B2 ) qui est donc égal
à la matrice unité In.
Par un calcul similaire, nous obtenons (P B1,B2 )(P B2,B1 ) = In, ce qui démontre la proposition.
❑
1.2 Les nouvelles et anciennes coordonnées d’un même vecteur
Proposition 2
Soit E un espace vectoriel muni d’une base B 1 et x un vecteur de E. Soit B 2 une nouvelle
base de E. On note
X =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
. . .
x n
⎞
⎟
⎟
⎠ et X
=
⎛
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
. . .
x
n
⎞
⎟
⎟
⎠ les coordonnées de x dans les bases B 1 et B 2 respectivement.
Soit P la matrice de passage de B 1 à B 2 .
On a la relation
X = PX
.
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