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Réduction
des endomorphismes
et des matrices
Dans tout ce chapitre E est un espace vectoriel sur K de dimension finie non nulle n.
1. Changement de base
Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment, en dimension finie, vecteurs et
applications linéaires sont associés à des matrices pourvu que des bases soient choisies
et fixées.
Nous changeons maintenant de point de vue : dans toute cette section, x est un
vecteur fixé une fois pour toutes dans l’espace vectoriel E de dimension finie, u est
un endomorphisme de E fixé une fois pour toutes, et nous étudions les effets d’un
changement de base.
1.1 Matrices de passage de l’ancienne base une nouvelle base
Définition 1
Soient B 1 = (e 1 , . . . , e n ) et B 2 = (´ 1 , . . . , ´ n ) deux bases de E. On appelle matrice de
passage de B 1 à B 2 et l’on note P B1,B2 la matrice M B1 (´ 1 , ´ 2 . . . , ´ n ).
➤ Remarques
• Le j ème vecteur colonne de P B1,B2 est donc le vecteur des coordonnées de ´ j dans la base B1. En ce sens on
peut dire que la matrice de passage de B1 à B2 est la matrice des coordonnées des vecteurs d’une nouvelle
base (B2) écrits dans l’ancienne (B1) qui est la référence de départ.
• Si on note P B1,B2 = (p i,j ) 1in
1jn
, on a alors pour tout j ∈ Ú1, nÛ l’égalité ´ j =
n
i=1
p i,j e i .
Exemple
Soient B 1 = (1, X, X
2 , X
3 ) la base canonique de K 3 [X] et B 2 = (1, (X −1), (X −1)
2 , (X −1)
3 )
une autre base de cet espace. On sait que
1
=
1
X − 1 = −1 + X
(X − 1)
2 =
1 − 2X + X
2
(X − 1)
3 = −1 + 3X − 3X
2 + X
3 .