Chapitre 2 – Applications linéaires
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un projecteur p de E tel
que p ◦ u − u ◦ p = u. Cette condition étant supposée remplie, y-a-t’il toujours unicité du
projecteur p ?
4. Soit l’espace vectoriel E = R
2 et u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base
canonique est égale à U =
−2 4
−1 2
. Déterminer un projecteur p de E tel que
p ◦ u − u ◦ p = u.
8.
Soit E un espace vectoriel de dimension n (n 1.) et f un endomorphisme de E.
Montrer que l’on a les équivalence suivante
mf = Ker f ⇐⇒
f ◦ f = 0 et n = 2 dim(mf )
9.
1. Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur K et f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G) deux
endomorphismes. Montrer que l’on a les équivalences suivantes :
a.
Ker(g ◦ f ) = Ker(f ) ⇐⇒ Ker g ∩ ∩mf = {0},
b.
m(g ◦ f ) = m(g) ⇐⇒ Ker g + mf = F.
2. Soit maintenant E un espace de dimension finie n et f un endomorphisme de E.
Ker(f ◦ f ) = Ker f ⇐⇒ ⇒m(f ◦ f ) = mf ⇐⇒ Ker f ⊕ ⊕mf = E
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