EXERCICES
2. Soit g l’application définie par
⎧
⎨
⎩
R
N
→ R
N
(u n ) n∈N → (v n ) n∈N avec
v 0 = 0
∀n ∈ N
∗ v n = u n−1
Ce qui peut encore s’écrire g(u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , . . .) = (0, u 0 , u 1 , u 2 , . . .).
a. Montrer que g est linéaire, injective et non surjective.
b. Que peut-on dire de f ◦ g ? Peut-on dire que f est la fonction réciproque de g ?
Conclure de cette étude qu’en dimension infinie, il existe des endomorphismes injectifs
non surjectifs.
4.
Soit f ∈ L(E) où E est de dimension n 1. On suppose que f est nilpotent,
c’est-à-dire qu’il existe un entier k > 1 tel que f
k = 0.
1. Montrer que f n’est pas bijective. Peut-on conclure qu’elle est ni injective ni surjective ?
2. Soit p le plus petit entier tel que f
p = 0 et x 0 ∈ E tel que f
p−1 (x 0 ) = 0.
a. Montrer que
x 0 , f (x 0 ), . . . , f
p−1 (x 0 )
est une famille libre de E.
b. En déduire que p n.
5.
Soit E = K n [X] l’espace vectoriel des polynôme de degré inférieur ou égal à n
(n 4.), a un élément de K et soit f l’application de E dans E définie par
f : P → (X − a)
P
− P
(a)
− 2
P − P(a)
.
1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
Le choix d’une base bien adaptée à f rendra l’exercice très simple.
6.
Soit E = un espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f ◦ f = f .
Montrer que f est une projection sur mf parallèlement à Ker f .
7.
Oral ESCP
Soit E un espace vectoriel sur R de dimension n 2 et soit u un endomorphisme de E .
1. Dans cette question uniquement on suppose qu’il existe un projecteur p de E tel que
p ◦ u − u ◦ p = u.
a. Montrer que u ◦ p = 0.
b. En déduire que u ◦ u = 0.
2. Dans cette question uniquement on suppose que u ◦ u = 0.
a. Montrer que m(u) ⊂ Ker(u).
b. Soit H un sous-espace vectoriel de E tel que : m(u) ⊂ H ⊂ Ker(u) et soit S un
supplémentaire de H. Soit q la projection sur H parallèlement à S. Calculer q ◦ u − u ◦ q.
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2. Soit g l’application définie par
⎧
⎨
⎩
R
N
→ R
N
(u n ) n∈N → (v n ) n∈N avec
v 0 = 0
∀n ∈ N
∗ v n = u n−1
Ce qui peut encore s’écrire g(u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , . . .) = (0, u 0 , u 1 , u 2 , . . .).
a. Montrer que g est linéaire, injective et non surjective.
b. Que peut-on dire de f ◦ g ? Peut-on dire que f est la fonction réciproque de g ?
Conclure de cette étude qu’en dimension infinie, il existe des endomorphismes injectifs
non surjectifs.
4.
Soit f ∈ L(E) où E est de dimension n 1. On suppose que f est nilpotent,
c’est-à-dire qu’il existe un entier k > 1 tel que f
k = 0.
1. Montrer que f n’est pas bijective. Peut-on conclure qu’elle est ni injective ni surjective ?
2. Soit p le plus petit entier tel que f
p = 0 et x 0 ∈ E tel que f
p−1 (x 0 ) = 0.
a. Montrer que
x 0 , f (x 0 ), . . . , f
p−1 (x 0 )
est une famille libre de E.
b. En déduire que p n.
5.
Soit E = K n [X] l’espace vectoriel des polynôme de degré inférieur ou égal à n
(n 4.), a un élément de K et soit f l’application de E dans E définie par
f : P → (X − a)
P
− P
(a)
− 2
P − P(a)
.
1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
Le choix d’une base bien adaptée à f rendra l’exercice très simple.
6.
Soit E = un espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f ◦ f = f .
Montrer que f est une projection sur mf parallèlement à Ker f .
7.
Oral ESCP
Soit E un espace vectoriel sur R de dimension n 2 et soit u un endomorphisme de E .
1. Dans cette question uniquement on suppose qu’il existe un projecteur p de E tel que
p ◦ u − u ◦ p = u.
a. Montrer que u ◦ p = 0.
b. En déduire que u ◦ u = 0.
2. Dans cette question uniquement on suppose que u ◦ u = 0.
a. Montrer que m(u) ⊂ Ker(u).
b. Soit H un sous-espace vectoriel de E tel que : m(u) ⊂ H ⊂ Ker(u) et soit S un
supplémentaire de H. Soit q la projection sur H parallèlement à S. Calculer q ◦ u − u ◦ q.
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