1.
1. Dans M 3 (K), déterminer le rang de la matrice
M =
1
1
1
b + c c + a a + b
bc
ca
ab
,
(a, b, c) ∈ K
3 .
2. Dans M n (K) avec n 2, déterminer, lorsqu’il existe, l’inverse de la matrice
M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a b · · · · · · b
b a
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a b
b · · · · · · b a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
(a, b) ∈ K
2 .
On pourra écrire M comme la combinaison linéaire de la matrice unité I et de la matrice
J de M n (K) dont tous les coefficients sont égaux à 1 et calculer M
2 .
3. Dans M n (K), on note I la matrice unité et on considère une matrice nilpotente A, c’està-dire qu’il existe un entier k > 1 tel que A
k = 0.
a. Rappeler la formule pour la somme des k premiers termes de la suite (r
n ) n∈N .
b. En donnant son inverse, montrer que I −A est inversible ; de la même manière, montrer
que I + A est inversible.
2.
Soit A =
1 3
0 1
et soit w l’application de M 2 (K) dans M 2 (K) défini par
w : M → MA − AM
1. Montrer que w est une application linéaire.
2. Déterminer la matrice de w dans la base canonique de M 2 (K).
3. L’endomorphisme w est-il injectif ? surjectif ? Déterminer m(w) et Ker(w).
4. Que peut-on dire de w
2 et de w
3 ?
3.
1. Soit f l’application définie par
R
N
→ R
N
(u n ) n∈N → (u n+1 ) n∈N
Ce qui peut encore s’écrire f (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , . . .) = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , . . .).
a. Montrer que f est linéaire.
b. Déterminer Ker(f ). L’application f est-elle injective ?
Peut on en déduire si f est surjective ou non ?
c. Soit k un entier naturel non nul, donner une base de Ker(f
k ).
L’espace R
N est-il de dimension finie ?
d. Montrer que f est surjective.
Conclure de cette étude qu’en dimension infinie, il existe des endomorphismes surjectifs
non injectifs.
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