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Rang d’une matrice
Preuve
Notons BE = (e1, e2, . . . , ep).
On sait que m(u) = Vect
u(e1), . . . , u(ep)
d’où rg(u) = rg
u(e1), . . . , u(ep)
. Mais d’après la proposition
précédente
rg
u(e1), . . . , u(ep)
= rg
M BF
u(e1), . . . , u(ep)
et par définition de la matrice d’une application linéaire M BE ,BF (u) = M BF
u(e1), . . . , u(ep)
. On en déduit
que
rg
u(e1), . . . , u(ep)
= rg
M BE,BF (u)
.
❑
Corollaire 2
Une matrice A de M n (K) est inversible si et seulement si rg(A) = n.
Preuve
Soit uA l’endomorphisme de Mn,1(K) canoniquement associé à A. On sait alors que
A est inversible ⇐⇒ uA est bijective
⇐⇒ rg(uA) = n
⇐⇒ rg(A) = n.
❑
Enfin nous admettons le théorème suivante dont la démonstration est hors programme.
Théorème 7
Soit une matrice A de M n,p (K).
La matrice A et sa transposée
t A ont le même rang.
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