Chapitre 2 – Applications linéaires
Définition 14
Soit A une matrice de M n,p (K). On appelle rang de la matrice A, et l’on note rg(A), la
dimension du sous-espace vectoriel engendré dans M n,1 (K) par les p vecteurs colonnes
de A.
Proposition 23
Soient A une matrice de M n,p (K) de rang r et u A l’application de M p,1 (K) dans M n,1 (K)
qu’elle définit. On a alors r = rg(A) = rg(u A ) et r inf(n, p).
Preuve
Nous savons que le sous-espace vectoriel m(uA) est engendré par la famille des images des vecteurs d’une
base de Mp,1(K), par exemple ceux de la base canonique. Nous remarquons alors que l’image par uA du j
ème
vecteur de cette base est le j
ème vecteur colonne de la matrice A.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1,j
a 2,j
.
.
.
a n,j
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a1,1 · · · a 1,j · · · a1,p
a2,1 · · · a 2,j · · · a2,p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an,1 · · · a n,j · · · an,p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
.
.
.
1
.
.
.
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
← j
ième ligne
Il est alors clair que nous avons rg(uA) = dim
m(uA)
= rg(A) = r.
Comme m(uA) est un sous-espace de Mn,1(K) nous avons r n et comme il est engendré par p vecteurs,
nous avons aussi r p.
❑
Proposition 24
Soient E un espace de dimension n muni d’une base B, f 1 , f 2 , . . . , f p des vecteurs de E et
M la matrice de ces vecteurs dans la base B. On a rg(f 1 , . . . , f p ) = rg(M).
Preuve
Soit M B : E → Mn,1(K) l’application qui à un vecteur x associe le n-uplet de ses coordonnées dans la
base B. On a déjà vu que cette application est un isomorphisme. Elle induit en particulier un isomorphisme de
Vect(f1, f2, . . . , fp) sur Vect
M B (f1), M B (f2), . . . , M B (fp)
. On en déduit que
rg(f1, f2, . . . , fp) = rg
M B (f1), M B (f2), . . . , M B (fp)
.
Mais par définition du rang d’une matrice rg(M) = rg
M B (f1), M B (f2), . . . , M B (fp)
. On a donc bien
rg(f1, f2, . . . , fp) = rg(M).
❑
Théorème 6
Soient E un espace vectoriel muni d’une base B E , F un espace vectoriel muni d’une base
B F et u ∈ L(E, F). On a rg(u) = rg
M BE,BF (u)
.
Autrement dit, le rang d’une application linéaire est égal au rang de sa matrice quelque
soit le choix des bases de E et de F utilisées.
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Définition 14
Soit A une matrice de M n,p (K). On appelle rang de la matrice A, et l’on note rg(A), la
dimension du sous-espace vectoriel engendré dans M n,1 (K) par les p vecteurs colonnes
de A.
Proposition 23
Soient A une matrice de M n,p (K) de rang r et u A l’application de M p,1 (K) dans M n,1 (K)
qu’elle définit. On a alors r = rg(A) = rg(u A ) et r inf(n, p).
Preuve
Nous savons que le sous-espace vectoriel m(uA) est engendré par la famille des images des vecteurs d’une
base de Mp,1(K), par exemple ceux de la base canonique. Nous remarquons alors que l’image par uA du j
ème
vecteur de cette base est le j
ème vecteur colonne de la matrice A.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1,j
a 2,j
.
.
.
a n,j
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a1,1 · · · a 1,j · · · a1,p
a2,1 · · · a 2,j · · · a2,p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an,1 · · · a n,j · · · an,p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
.
.
.
1
.
.
.
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
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⎠
← j
ième ligne
Il est alors clair que nous avons rg(uA) = dim
m(uA)
= rg(A) = r.
Comme m(uA) est un sous-espace de Mn,1(K) nous avons r n et comme il est engendré par p vecteurs,
nous avons aussi r p.
❑
Proposition 24
Soient E un espace de dimension n muni d’une base B, f 1 , f 2 , . . . , f p des vecteurs de E et
M la matrice de ces vecteurs dans la base B. On a rg(f 1 , . . . , f p ) = rg(M).
Preuve
Soit M B : E → Mn,1(K) l’application qui à un vecteur x associe le n-uplet de ses coordonnées dans la
base B. On a déjà vu que cette application est un isomorphisme. Elle induit en particulier un isomorphisme de
Vect(f1, f2, . . . , fp) sur Vect
M B (f1), M B (f2), . . . , M B (fp)
. On en déduit que
rg(f1, f2, . . . , fp) = rg
M B (f1), M B (f2), . . . , M B (fp)
.
Mais par définition du rang d’une matrice rg(M) = rg
M B (f1), M B (f2), . . . , M B (fp)
. On a donc bien
rg(f1, f2, . . . , fp) = rg(M).
❑
Théorème 6
Soient E un espace vectoriel muni d’une base B E , F un espace vectoriel muni d’une base
B F et u ∈ L(E, F). On a rg(u) = rg
M BE,BF (u)
.
Autrement dit, le rang d’une application linéaire est égal au rang de sa matrice quelque
soit le choix des bases de E et de F utilisées.
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