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Rang d’une matrice
relativement à B est un isomorphisme d’espace vectoriel et nous avons
∀u ∈ L(E) ∀v ∈ L(E) ∀l ∈ K ∀k ∈ N
M(u + v) = M(u) + M(v)
M(lu) = lM(u)
M(u ◦ v) = M(u)M(v)
M(u
k ) =
M(u)
k
De plus, si x et y sont des vecteurs de E et X et Y les matrices colonnes de leurs coordonnées dans la base B, nous avons
∀u ∈ L(E) ∀x ∈ E ∀y ∈ E
y= u(x) ⇐⇒ Y = M(u)X
Enfin la restriction de M à l’ensemble GL(E) des automorphismes de E est une bijection
de GL(E) dans l’ensemble des matrices inversibles de M n (K) et l’on a
∀u ∈ GL(E)
M(u
−1 ) =
M(u)
−1
➤ Remarque
Cette proposition n’est que la traduction dans le cas des endomorphismes de l’ensemble des propositions précédentes.
6. Rang d’une matrice
Soit n et p deux entiers naturels non nuls ; nous considérons ici les espaces vectoriels
M p,1 (K) et M n,1 (K) munis de leur base canonique.
Un élément X de M p,1 (K) est une matrice colonne égale à la matrice colonne de ses
coordonnées sur la base canonique de M p,1 (K).
Par exemple, si p = 3, nous avons pour tout élément X de M p,1 (K)
X =
⎛
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎠ = x 1
⎛
⎝
1
0
0
⎞
⎠ + x 2
⎛
⎝
0
1
0
⎞
⎠ + x 3
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠
Il en est de même pour les élément Y de M p,1 (K).
Soit u une application linéaire de M p,1 (K) dans M n,1 (K) et soit A sa matrice relativement aux bases canoniques, nous avons
∀X ∈ M p,1 (K) ∀Y ∈ M n,1 (K)
Y = u(X) ⇐⇒ Y = AX
Inversement, si A est une matrice de M n,p (K), l’application u A définie par
u A : X −→ AX est une application linéaire de M p,1 (K) dans M n,1 (K).
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