Chapitre 2 – Applications linéaires
Exercice 1.
Considérons sur R 3 [X] rapporté à sa base canonique l’application u qui à tout polynôme P(X)
associe le polynôme P(X + 2).
Vérifier que u est un endomorphisme de R 3 [X] et déterminer la matrice M de u.
La matrice M est elle-inversible ? Calculer son inverse s’il existe.
Solution.
Si P(X) est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, le polynôme P(X + 2) sera aussi de
degré inférieur ou égal à 3.
Si l et m sont deux scalaires, P et Q deux polynômes dans R 3 [X] alors on a l’égalité de
polynômes (lP+mQ)(X+2) = lP(X+2)+mQ(X+2) c’est-à-dire u(lP+mQ) = lu(P)+mu(Q).
L’application u est une application linéaire de R 3 [X] dans R 3 [X] donc un endomorphisme.
Soit (1, X, X
2 , X
3 ) la base canonique de R 3 [X].
Les colonnes de la matrice de u sont les coordonnées des images des vecteurs de cette base, par
exemple u(X
3 ) = (X + 2)
3 = 8 + 12X + 6X
2 + X
3 , donc la quatrième colonne de la matrice
M est
⎛
⎜
⎝
8
12
6
1
⎞
⎟
⎠ .
La matrice M associée à u est donc
M =
⎛
⎜
⎝
1 2 4 8
0 1 4 12
0 0 1 6
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ .
La matrice M est inversible, puisqu’elle est déjà triangulaire supérieure avec une diagonale de
pivots tous non nuls.
Nous pouvons par ailleurs remarquer que l’application v définie par v
P(X)
= P(X − 2)
pour tout polynôme P dans R 3 [X] est l’application réciproque de u, nous avons en effet
u ◦ v = v ◦ u = Id. Nous en déduisons à nouveau que u est un automorphisme, que M est
inversible et que son inverse est la matrice de v, donc
M
−1 =
⎛
⎜
⎝
1 −2 4 −8
0 1 −4 12
0 0
1 −6
0 0
0
1
⎞
⎟
⎠ .
Isomorphisme entre L(E) et M n (K)
Nous donnons ici une synthèse de certains résultats établis ci-dessus.
Proposition 22
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur K et B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une base
de E. L’application M qui à toute endomorphisme u de L(E) associe la matrice de u
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