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Matrices et applications linéaires
Nous savons que (u i,j ) 1in
1jp
est une base de L(E, F). La matrice de u i,j est la matrice E i,j de la base canonique
de Mn,p(K).
L’application M BE,BF envoie donc les vecteurs d’une base de L(E, F) sur les vecteurs de la base canonique
de Mn,p(K), c’est un isomorphisme.
❑
5.3 Produit de matrices et composée d’applications linéaires
Proposition 20
Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies munis respectivement des
bases B E , B F et B G . Pour toutes applications linéaires u de E dans F et v de F dans G,
nous avons
M BE,BG (v ◦ u) = M BF ,BG (v) × M BE,BF (u)
➤ Remarque
On retiendra que la multiplication des matrices correspond à la composition des applications linéaires.
Preuve
Posons p = dim(E), n = dim(F) et q = dim(G).
Soit u ∈ L(E, F) et v ∈ L(F, G) deux applications linéaires.
Posons A = M BE ,BF (u) ∈ Mn,p(K) et B = M BF ,BG (v) ∈ Mq,n(K).
Pour tous vecteurs x, y et z de E, F et G respectivement, nous noterons X, Y et Z les matrices colonnes de
leurs coordonnées dans les bases BE, BF et BG respectivement. Les matrices colonnes X, Y et Z ont donc
respectivement p, n et q lignes.
Avec ces notations, pour tout vecteur x de E, posons y = u(x) et z = v(y) = u ◦ v(x) et nous avons alors
Y = AX et Z = BY = B(AX) = (BA)X. Puisqu’à l’application linéaire v ◦ u ne correspond qu’une seule matrice
relativement aux bases BE et BG, il s’agit de la matrice BA ce qui démontre la proposition.
❑
5.4 Matrices carrées et endomorphismes
Matrice d’un automorphisme de E et de sa réciproque
Proposition 21
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
La matrice d’un automorphisme u de E est une matrice carrée inversible de M n (K) dont
l’inverse est la matrice de l’automorphisme réciproque u
−1 de E.
Preuve
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n et u un automorphisme de E, c’est-à-dire une bijection
linéaire de E dans E, nous savons que la bijection réciproque u −1 de u est aussi un automorphisme.
Soient BE = (e1, e2, . . . , en) une base de E.
Posons A = M BE (u) et B = M BE (u −1 ). Nous avons u −1 ◦ u = IdE et u ◦ u −1 = IdF d’où nous déduisons que
BA = In et AB = In. La matrice A est donc inversible et A −1 = B.
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Matrices et applications linéaires
Nous savons que (u i,j ) 1in
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est une base de L(E, F). La matrice de u i,j est la matrice E i,j de la base canonique
de Mn,p(K).
L’application M BE,BF envoie donc les vecteurs d’une base de L(E, F) sur les vecteurs de la base canonique
de Mn,p(K), c’est un isomorphisme.
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5.3 Produit de matrices et composée d’applications linéaires
Proposition 20
Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies munis respectivement des
bases B E , B F et B G . Pour toutes applications linéaires u de E dans F et v de F dans G,
nous avons
M BE,BG (v ◦ u) = M BF ,BG (v) × M BE,BF (u)
➤ Remarque
On retiendra que la multiplication des matrices correspond à la composition des applications linéaires.
Preuve
Posons p = dim(E), n = dim(F) et q = dim(G).
Soit u ∈ L(E, F) et v ∈ L(F, G) deux applications linéaires.
Posons A = M BE ,BF (u) ∈ Mn,p(K) et B = M BF ,BG (v) ∈ Mq,n(K).
Pour tous vecteurs x, y et z de E, F et G respectivement, nous noterons X, Y et Z les matrices colonnes de
leurs coordonnées dans les bases BE, BF et BG respectivement. Les matrices colonnes X, Y et Z ont donc
respectivement p, n et q lignes.
Avec ces notations, pour tout vecteur x de E, posons y = u(x) et z = v(y) = u ◦ v(x) et nous avons alors
Y = AX et Z = BY = B(AX) = (BA)X. Puisqu’à l’application linéaire v ◦ u ne correspond qu’une seule matrice
relativement aux bases BE et BG, il s’agit de la matrice BA ce qui démontre la proposition.
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5.4 Matrices carrées et endomorphismes
Matrice d’un automorphisme de E et de sa réciproque
Proposition 21
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
La matrice d’un automorphisme u de E est une matrice carrée inversible de M n (K) dont
l’inverse est la matrice de l’automorphisme réciproque u
−1 de E.
Preuve
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n et u un automorphisme de E, c’est-à-dire une bijection
linéaire de E dans E, nous savons que la bijection réciproque u −1 de u est aussi un automorphisme.
Soient BE = (e1, e2, . . . , en) une base de E.
Posons A = M BE (u) et B = M BE (u −1 ). Nous avons u −1 ◦ u = IdE et u ◦ u −1 = IdF d’où nous déduisons que
BA = In et AB = In. La matrice A est donc inversible et A −1 = B.
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