Chapitre 2 – Applications linéaires
Nous avons donc u =
n
i=1
p
j=1
a i,j u i,j puisque ces deux applications linéaires coïncident sur la base
BE = (e1, e2, . . . , ep) de E.
La famille (u i,j ) 1in
1jp
est donc génératrice de L(E, F).
Soit d’autre part une famille (l i,j ) 1in
1jp
de scalaires telle que
n
i=1
p
j=1
l i,j u i,j = 0. Pour tout entier k dans
Ú1, pÛ nous avons
0 =
⎛
⎝
n
i=1
p
j=1
l i,j u i,j
⎞
⎠ (e k ) =
n
i=1
l i,k f i .
La famille (f i ) 1in étant libre, nous avons l 1,k = l 2,k = · · · = l n,k = 0. Ces égalités étant démontrées
pour tout k dans Ú1, pÛ, tous les scalaires (l i,j ) 1in
1jp
sont nécessairement nuls. La famille (u i,j ) 1in
1jp
elle-même
est libre.
❑
Isomorphisme entre L(E, F) et M n,p (K)
Proposition 19
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p )
une base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. L’application qui à toute application linéaire u de L(E, F) associe la matrice M BE,BF (u) de M n,p (K) est un isomorphisme
d’espace vectoriel.
➤ Remarques
• On retiendra que la matrice d’une combinaison linéaire d’applications linéaires est la combinaison linéaire des
matrices des applications.
• Le fait que Mn,p(K) et L(E, F) sont de même dimension nous permet de dire qu’il existe des isomorphismes
entre ces deux espaces, cependant une application de l’un dans l’autre n’est pas nécessairement un isomorphisme, il nous faut donc montrer que l’application M BE,BF est bien linéaire et bijective.
Preuve
Soient u et v deux éléments de L(E, F), soient (a i,j ) 1in
1jp
= M BE,BF (u) et (b i,j ) 1in
1jp
= M BE,BF (v) leurs
matrices respectives relativement aux bases BE et BF et soient l et m deux scalaires. Nous avons
∀j ∈ Ú1, pÛ
(lu + mv)(e j ) = lu(e j ) + mv(e j )
= l
n
i=1
a i,j f i
+ m
n
i=1
b i,j f i
=
n
i=1
(la i,j + mb i,j )f i .
De ce fait la matrice de l’application linéaire lu + mv est donc la matrice (la i,j + mb i,j ) 1in
1jp
et donc
M BE,BF (lu + mv) = lM BE ,BF (u) + mM BE ,BF (v).
L’application M BE,BF est linéaire.
Comme dans la démonstration de la proposition précédente, pour tout i ∈ Ú1, nÛ et tout j ∈ Ú1, pÛ, nous
définissons l’application linéaire u i,j ∈ L(E, F) en donnant les images des vecteurs de la base BE
∀k ∈ Ú1, pÛ u i,j (e k ) = 0
sik = j
et
u i,j (e j ) = f i .
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Nous avons donc u =
n
i=1
p
j=1
a i,j u i,j puisque ces deux applications linéaires coïncident sur la base
BE = (e1, e2, . . . , ep) de E.
La famille (u i,j ) 1in
1jp
est donc génératrice de L(E, F).
Soit d’autre part une famille (l i,j ) 1in
1jp
de scalaires telle que
n
i=1
p
j=1
l i,j u i,j = 0. Pour tout entier k dans
Ú1, pÛ nous avons
0 =
⎛
⎝
n
i=1
p
j=1
l i,j u i,j
⎞
⎠ (e k ) =
n
i=1
l i,k f i .
La famille (f i ) 1in étant libre, nous avons l 1,k = l 2,k = · · · = l n,k = 0. Ces égalités étant démontrées
pour tout k dans Ú1, pÛ, tous les scalaires (l i,j ) 1in
1jp
sont nécessairement nuls. La famille (u i,j ) 1in
1jp
elle-même
est libre.
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Isomorphisme entre L(E, F) et M n,p (K)
Proposition 19
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p )
une base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. L’application qui à toute application linéaire u de L(E, F) associe la matrice M BE,BF (u) de M n,p (K) est un isomorphisme
d’espace vectoriel.
➤ Remarques
• On retiendra que la matrice d’une combinaison linéaire d’applications linéaires est la combinaison linéaire des
matrices des applications.
• Le fait que Mn,p(K) et L(E, F) sont de même dimension nous permet de dire qu’il existe des isomorphismes
entre ces deux espaces, cependant une application de l’un dans l’autre n’est pas nécessairement un isomorphisme, il nous faut donc montrer que l’application M BE,BF est bien linéaire et bijective.
Preuve
Soient u et v deux éléments de L(E, F), soient (a i,j ) 1in
1jp
= M BE,BF (u) et (b i,j ) 1in
1jp
= M BE,BF (v) leurs
matrices respectives relativement aux bases BE et BF et soient l et m deux scalaires. Nous avons
∀j ∈ Ú1, pÛ
(lu + mv)(e j ) = lu(e j ) + mv(e j )
= l
n
i=1
a i,j f i
+ m
n
i=1
b i,j f i
=
n
i=1
(la i,j + mb i,j )f i .
De ce fait la matrice de l’application linéaire lu + mv est donc la matrice (la i,j + mb i,j ) 1in
1jp
et donc
M BE,BF (lu + mv) = lM BE ,BF (u) + mM BE ,BF (v).
L’application M BE,BF est linéaire.
Comme dans la démonstration de la proposition précédente, pour tout i ∈ Ú1, nÛ et tout j ∈ Ú1, pÛ, nous
définissons l’application linéaire u i,j ∈ L(E, F) en donnant les images des vecteurs de la base BE
∀k ∈ Ú1, pÛ u i,j (e k ) = 0
sik = j
et
u i,j (e j ) = f i .
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