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Matrices et applications linéaires
2. Nous avons déjà remarqué que la dérivation des polynômes était une application linéaire.
Considérons par exemple l’application u de K 3 [X] (de dimension 4) dans K 2 [X] (de
dimension 3) qui à un polynôme P = a + bX + cX
2 + dX
3 lui associe sa dérivée P
.
Relativement à la base canonique B 3 = (1, X, X
2 , X
3 ) de K 3 [X] et à la base canonique
B 2 = (1, X, X
2 ) de K 2 [X], la matrice A de u est
A =
⎛
⎝
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
⎞
⎠ .
Par exemple la matrice colonne des coordonnées du polynôme P(X) = 13+11X+7X
2 +5X
3
est
⎛
⎜
⎝
13
11
7
5
⎞
⎟
⎠ . Les coordonnées de P
(X) sont alors
⎛
⎝
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
⎞
⎠
⎛
⎜
⎝
13
11
7
5
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎝
11
14
15
⎞
⎠
dans la base canonique de K 2 [X] ce qui nous donne P
(X) = 11 + 14X + 15X
2 .
5.2 Espaces vectoriels de matrices et d’applications linéaires
Base et dimension de L(E, F)
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p )
une base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. Pour tout i ∈ Ú1, nÛ et tout
j ∈ Ú1, pÛ nous définissons l’application linéaire u i,j ∈ L(E, F) en donnant les images
des vecteurs de la base B E
∀k ∈ Ú1, pÛ u i,j (e k ) = 0
sik = j
et
u i,j (e j ) = f i .
Proposition 18
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension n et p. La famille (u i,j ) 1in
1jp
des np
applications linéaires de E dans F définie ci-dessus est une base de L(E, F).
Nous avons dim
L(E, F)
= dim(F) × dim(E).
Preuve
Soit u un élément quelconque de L(E, F) et soit (a i,j ) 1in
1jp
la matrice de u relativement aux bases BE et BF .
Considérons
n
i=1
p
j=1
a i,j u i,j . Nous avons
∀k ∈ Ú1, pÛ
⎛
⎝
n
i=1
p
j=1
a i,j u i,j
⎞
⎠ (e k ) =
n
i=1
p
j=1
a i,j
u i,j (e k )
=
n
i=1
a i,k
u i,k (e k )
=
n
i=1
a i,k f i
= u(e k ).
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