Chapitre 2 – Applications linéaires
➤ Remarque
La matrice A est de taille n × p :
n lignes, n comme la dimension de l’espace d’arrivée F,
p colonnes, p comme la dimension de l’espace de départ E et comme le nombre de ligne de X.
Preuve
La matrice A est telle que pour tout j ∈ Ú1, pÛ nous avons u(e j ) =
n
i=1
a i,j f i .
Nous avons pour tout vecteur x =
p
j=1
x j e j de E et y =
n
i=1
y i f i de F, les égalités X = M BE (x) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
x2
.
.
.
xp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
et
Y = M BF (y) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
y1
y2
.
.
.
yn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
. Avec ces notations, nous avons les équivalences
y = u(x) ⇐⇒
n
i=1
y i f i = u
⎛
⎝
p
j=1
x j e j
⎞
⎠
⇐⇒
n
i=1
y i f i =
p
j=1
x j u(e j )
⇐⇒
n
i=1
y i f i =
p
j=1
x j
n
i=1
a i,j f i
⇐⇒
n
i=1
y i f i =
n
i=1
⎛
⎝
p
j=1
a i,j x j
⎞
⎠ f i
⇐⇒ ∀i ∈ Ú1, nÛ
y i =
p
j=1
a i,j x j
⇐⇒ Y = AX.
❑
Exemples
1. Reprenons l’exemple de l’application u définie page 24 en début de chapitre.
u :
K
3
→ K
2
(x 1 , x 2 , x 3 ) → (x 1 − x 2 + 4x 3 , 3x 1 − x 3 )
L’espace de départ est de dimension 3 et celui d’arrivée est de dimension 2, la matrice de
u relativement aux bases canoniques B 3 de K
3 et B 2 de K
2 est donc de taille 3 × 2, ses
vecteurs colonnes sont les images par u de (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Nous avons donc
M B3,B2 (u) =
1 −1
4
3
0 −1
.
Nous pouvons noter (y 1 , y 2 ) l’image d’un élément (x 1 , x 2 , x 3 ) de K
3 par u. Nous avons
alors
y 1
y 2
=
1 −1
4
3
0 −1
⎛
⎝
x 1
x 2
x 3
⎞
⎠ .
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