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Matrices et applications linéaires
n scalaires uniques a 1,j , a 2,j , . . . , a n,j tels que
u(e j ) =
n
i=1
a i,j f i .
La matrice A = (a i,j ) 1in
1jp
est appelée matrice de u relativement aux bases B E , B F et est
notée M BE,BF (u).
C’est la matrice dont le j
eme vecteur colonne est le vecteur colonne des coordonnées de
u(e j ) dans la base B F .
➤ Remarque
Les bases BE et BF étant fixées, la matrice A d’une application linéaire u ∈ L(E, F) est unique.
Définition 13
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) et B une base de E. On appelle
matrice de u relativement à la base B et l’on note M B (u) la matrice M B,B (u).
Exemple
L’application identité Id E est une application linéaire. Si E est de dimension n, la matrice de
Id E est I n la matrice unité de M n (K) quelque soit la base de E utilisée. En effet si (e 1 , . . . , e n )
est une base de E, nous avons pour tout j ∈ Ú1, nÛ Id E (e j ) = e j .
➤ Remarque
Réciproquement, étant donnée une matrice A = (a i,j ) de Mn,p(K), on peut considérer l’application u : K
p → K
n
qui à tout p-uplet (x1, x2, . . . , xp) associe le n-uplet (y1, y2, . . . , yn) tel que pour i ∈ Ú1, nÛ, on a
y i =
p
j=1
a i,j x j .
On vérifie facilement que cette application est linéaire. Par construction, cette application a pour matrice A dans
les bases canoniques de K
p et K
n . L’application u est appelée l’application linéaire canoniquement associée à
A.
Calcul effectif des coordonnées de l’image d’un vecteur
Tous nos efforts sont couronnés par la proposition suivante où nous utilisons les notations définies dans ce chapitre.
Proposition 17
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une
base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. Soit u ∈ L(E, F).
Pour tout vecteur x de E et tout vecteur y de F nous avons
y = u(x) ⇐⇒ Y = AX
où A, X et Y sont les matrices M BE,BF (u), M BE (x) et M BF (y) associées à u, x et y
respectivement.
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Matrices et applications linéaires
n scalaires uniques a 1,j , a 2,j , . . . , a n,j tels que
u(e j ) =
n
i=1
a i,j f i .
La matrice A = (a i,j ) 1in
1jp
est appelée matrice de u relativement aux bases B E , B F et est
notée M BE,BF (u).
C’est la matrice dont le j
eme vecteur colonne est le vecteur colonne des coordonnées de
u(e j ) dans la base B F .
➤ Remarque
Les bases BE et BF étant fixées, la matrice A d’une application linéaire u ∈ L(E, F) est unique.
Définition 13
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) et B une base de E. On appelle
matrice de u relativement à la base B et l’on note M B (u) la matrice M B,B (u).
Exemple
L’application identité Id E est une application linéaire. Si E est de dimension n, la matrice de
Id E est I n la matrice unité de M n (K) quelque soit la base de E utilisée. En effet si (e 1 , . . . , e n )
est une base de E, nous avons pour tout j ∈ Ú1, nÛ Id E (e j ) = e j .
➤ Remarque
Réciproquement, étant donnée une matrice A = (a i,j ) de Mn,p(K), on peut considérer l’application u : K
p → K
n
qui à tout p-uplet (x1, x2, . . . , xp) associe le n-uplet (y1, y2, . . . , yn) tel que pour i ∈ Ú1, nÛ, on a
y i =
p
j=1
a i,j x j .
On vérifie facilement que cette application est linéaire. Par construction, cette application a pour matrice A dans
les bases canoniques de K
p et K
n . L’application u est appelée l’application linéaire canoniquement associée à
A.
Calcul effectif des coordonnées de l’image d’un vecteur
Tous nos efforts sont couronnés par la proposition suivante où nous utilisons les notations définies dans ce chapitre.
Proposition 17
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une
base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. Soit u ∈ L(E, F).
Pour tout vecteur x de E et tout vecteur y de F nous avons
y = u(x) ⇐⇒ Y = AX
où A, X et Y sont les matrices M BE,BF (u), M BE (x) et M BF (y) associées à u, x et y
respectivement.
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