Chapitre 2 – Applications linéaires
Pour tout x =
p
j=1
x j e j nous avons X = M BE (x) =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
. . .
x p
⎞
⎟
⎟
⎠ .
L’application M BE est bijective de E dans M p,1 (K) puisque tout élément
X = (x j ) 1jp de M p,1 (K) a dans E un unique antécédent x défini par x =
p
j=1
x j e j
tel que X = M BE (x).
L’application M BE est linéaire. En effet, pour tout couple (l, m) de scalaires et
pour tous vecteurs x =
p
j=1
x j e j et y =
p
j=1
y j e j de l’espace vectoriel E nous avons
lx + my =
p
j=1
(lx j + my j )e j et donc
M BE (lx + my) = lM BE (x) + mM BE (y).
L’application M BE est donc un isomorphisme de E vers M p,1 (K).
Nous définissons de façon similaire l’isomorphisme M BF de F vers M n,1 (K) qui est
entièrement défini dès que la base B F est fixée.
Dans la suite de ce chapitre, nous noterons habituellement x, y, z les vecteurs et X,
Y , Z les matrices colonnes de leurs coordonnées.
Définition 11
Soient E un espace vectoriel de dimension n, B E une base de E et (v 1 , v 2 , . . . , v k ) une
famille de k vecteurs de E. On appelle matrice de la famille (v 1 , v 2 , . . . , v k ) relativement à
la base B la matrice de M n,k (K) notée M B (v 1 , v 2 , . . . , v k ) dont les vecteurs colonnes sont
les matrices colonnes des coordonnées de v 1 , v 2 , . . . , v k sur la base B.
Exemple
Plaçons nous dans K 3 [X] et posons v 1 = (X − 2)
2 , v 2 = (X − 1)
3 et v 3 = 7X − 5. La matrice
des vecteurs v 1 , v 2 et v 3 dans la base canonique B c est
M Bc (v 1 , v 2 , v 3 ) =
⎛
⎜
⎝
4 −1 −5
−4
3
7
1 −3
0
0
1
0
⎞
⎟
⎠ .
Définition de la matrice d’une application linéaire
Définition 12
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une
base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. Soit u ∈ L(E, F). Pour j ∈ Ú1, pÛ, il existe
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Pour tout x =
p
j=1
x j e j nous avons X = M BE (x) =
⎛
⎜
⎜
⎝
x 1
x 2
. . .
x p
⎞
⎟
⎟
⎠ .
L’application M BE est bijective de E dans M p,1 (K) puisque tout élément
X = (x j ) 1jp de M p,1 (K) a dans E un unique antécédent x défini par x =
p
j=1
x j e j
tel que X = M BE (x).
L’application M BE est linéaire. En effet, pour tout couple (l, m) de scalaires et
pour tous vecteurs x =
p
j=1
x j e j et y =
p
j=1
y j e j de l’espace vectoriel E nous avons
lx + my =
p
j=1
(lx j + my j )e j et donc
M BE (lx + my) = lM BE (x) + mM BE (y).
L’application M BE est donc un isomorphisme de E vers M p,1 (K).
Nous définissons de façon similaire l’isomorphisme M BF de F vers M n,1 (K) qui est
entièrement défini dès que la base B F est fixée.
Dans la suite de ce chapitre, nous noterons habituellement x, y, z les vecteurs et X,
Y , Z les matrices colonnes de leurs coordonnées.
Définition 11
Soient E un espace vectoriel de dimension n, B E une base de E et (v 1 , v 2 , . . . , v k ) une
famille de k vecteurs de E. On appelle matrice de la famille (v 1 , v 2 , . . . , v k ) relativement à
la base B la matrice de M n,k (K) notée M B (v 1 , v 2 , . . . , v k ) dont les vecteurs colonnes sont
les matrices colonnes des coordonnées de v 1 , v 2 , . . . , v k sur la base B.
Exemple
Plaçons nous dans K 3 [X] et posons v 1 = (X − 2)
2 , v 2 = (X − 1)
3 et v 3 = 7X − 5. La matrice
des vecteurs v 1 , v 2 et v 3 dans la base canonique B c est
M Bc (v 1 , v 2 , v 3 ) =
⎛
⎜
⎝
4 −1 −5
−4
3
7
1 −3
0
0
1
0
⎞
⎟
⎠ .
Définition de la matrice d’une application linéaire
Définition 12
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies sur K, B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une
base de E et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ) une base de F. Soit u ∈ L(E, F). Pour j ∈ Ú1, pÛ, il existe
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