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Matrices et applications linéaires
➤ Remarque
Nous verrons en exercice que cette propriété caractérise les projections.
Proposition 14
Soit E un espace vectoriel tel que E = F 1 ⊕ F 2 . Soit p la projection sur F 1 parallèlement
à F 2 . On a
m(p) = F 1 et Ker(p) = F 2 .
Preuve
Par définition de p, m(p) ⊂ F1. Inversement si x ∈ F1 alors x = x
∈F1
+ 0
∈F2
, p(x) = x et donc x ∈ ∈m(p). On
a donc m(p) = F1.
Soit x un élément de F2 ; on a donc x = 0
∈F1
+ x
∈F2
, p(x) = 0 et x ∈ Ker(p). Inversement si x ∈ Ker(p) alors
l’écriture x = 0 + x est la décomposition de x en somme d’un élément de F1 et d’un élément de F2, et donc
x ∈ F2. On a donc Ker(p) = F2.
❑
Proposition 15
Soit p la projection sur F 1 parallèlement à F 2 . On a alors
∀x ∈ E
x∈ F 1 ⇐⇒ p(x) = x.
Preuve
Soit x un vecteur de E.
Si x ∈ F1 alors x = x
∈F1
+ 0
∈F2
et p(x) = x.
Si p(x) = x alors x ∈ ∈m(p) = F1.
❑
5. Matrices et applications linéaires
Dans toute cette section, E et F sont deux espaces vectoriels de dimensions p et n
munis respectivement des bases B E = (e 1 , e 2 , . . . , e p ) et B F = (f 1 , f 2 , . . . , f n ), fixées une
fois pour toutes.
5.1 Matrice associée à une application linéaire
Matrice colonne des coordonnées d’un vecteur
Proposition 16
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et B E une base de E. L’application qui associe
à chaque vecteur de E la matrice colonne de ses coordonnées sur B E est un isomorphisme
d’espace vectoriel.
Nous définissons l’application M BE de E dans M p,1 (K) qui associe à tout vecteur x
de E l’unique matrice colonne X = M BE (x) de ses coordonnées sur B E .
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