Chapitre 2 – Applications linéaires
Exemples
1. Traçons la figure dans le cas où F 1 et F 2 sont deux droites vectorielles du plan et x un
vecteur fixé.
F 1
F 2
O
x
x 1 = p(x)
x 2 = q(x)
2. On a déjà vu, page 18, que R
R = P ⊕ I. La projection sur P parallèlement à I est
l’application qui à une fonction f associe la fonction g définie pour tout réel x par
g(x) =
f (x) + f (−x)
2
·
4.2 Propriétés de la projection sur F 1 parallèlement à F 2
Proposition 13
Toute projection p est linéaire et vérifie p ◦ p = p.
Preuve
Soit E = F1 ⊕ F2, p la projection sur F1 parallèlement à F2 et q la projection sur F2 parallèlement à F1 .
Montrons que p est linéaire. Soient x, y deux éléments de E et l, m deux scalaires.
Nous avons d’une part
lx + my = p(lx + my)
∈F1
+ q(lx + my)
∈F2
,
et d’autre part, parce que F1 et F2 sont stables par combinaisons linéaires,
lx + my = l
p(x) + q(x)
+ m
p(y) + q(y)
=
lp(x) + mp(y)
∈F1
+
lq(x) + mq(y)
∈F2
.
Enfin, parce que l’écriture de tout élément de E comme somme d’un élément de F1 et d’un élément de F2 est
unique, nous avons
p(lx + my) = lp(x) + mp(y).
L’application p est donc linéaire.
De plus nous avons pour tout vecteur x de E
p(x) = p(x)
∈F1
+ 0
∈F2
,
donc
p ◦ p(x) = p
p(x)
= p(x).
❑
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