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Projections
• Nous pouvons utiliser les identités remarquables pour exprimer par exemple (u + v)
n si u et v sont deux endomorphismes qui commutent et seulement dans ce cas. Par exemple nous avons
(u + v)
2 = (u + v) ◦ (u + v)
= (u + v) ◦ u + (u + v) ◦ v
= u
2 + v ◦ u + u ◦ v + v
2
= u
2 + 2u ◦ v + v
2
Cette égalité est fausse si u et v ne commutent pas.
L’ensemble GL(E) des automorphismes muni de la composition
Définition 9
Une application linéaire de E vers E bijective est appelée un automorphisme de E.
L’ensemble des automorphismes est noté GL(E).
➤ Remarque
Un automorphisme de E est donc un endomorphisme de E bijectif.
Proposition 12
La composition est une loi de composition interne sur l’ensemble GL(E) des automorphismes de E.
Preuve
Il suffit de remarquer que la composition de deux bijections est bijective et que la composition de deux application linéaires est une application linéaire. Nous pouvons alors conclure que la composition de deux automorphismes de E est un automorphisme de E.
❑
4. Projections
4.1 Définition de la projection sur F 1 parallèlement à F 2
Définition 10
Soit E un espace vectoriel tel que E = F 1 ⊕ F 2 . On appelle projection sur F 1 parallèlement à F 2 l’application p de E dans E qui à tout vecteur x de E s’écrivant sous la forme
x = x 1 + x 2 où x 1 ∈ F 1 et x 2 ∈ F 2 associe le vecteur p(x) = x 1
Pour tout vecteur x de E, nous savons qu’il existe un seul couple (x 1 , x 2 ) ∈ F 1 × F 2
tel que x = x 1 + x 2 , l’application p est donc bien définie. Notons q la projection sur
F 2 parallèlement à F 1 . On dit que p et q sont les deux projections associées à la somme
directe F 1 ⊕ F 2 . Nous avons alors
∀x ∈ E
x= p(x) + q(x) avec p(x) ∈ F 1 et q(x) ∈ F 2 .
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Projections
• Nous pouvons utiliser les identités remarquables pour exprimer par exemple (u + v)
n si u et v sont deux endomorphismes qui commutent et seulement dans ce cas. Par exemple nous avons
(u + v)
2 = (u + v) ◦ (u + v)
= (u + v) ◦ u + (u + v) ◦ v
= u
2 + v ◦ u + u ◦ v + v
2
= u
2 + 2u ◦ v + v
2
Cette égalité est fausse si u et v ne commutent pas.
L’ensemble GL(E) des automorphismes muni de la composition
Définition 9
Une application linéaire de E vers E bijective est appelée un automorphisme de E.
L’ensemble des automorphismes est noté GL(E).
➤ Remarque
Un automorphisme de E est donc un endomorphisme de E bijectif.
Proposition 12
La composition est une loi de composition interne sur l’ensemble GL(E) des automorphismes de E.
Preuve
Il suffit de remarquer que la composition de deux bijections est bijective et que la composition de deux application linéaires est une application linéaire. Nous pouvons alors conclure que la composition de deux automorphismes de E est un automorphisme de E.
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4. Projections
4.1 Définition de la projection sur F 1 parallèlement à F 2
Définition 10
Soit E un espace vectoriel tel que E = F 1 ⊕ F 2 . On appelle projection sur F 1 parallèlement à F 2 l’application p de E dans E qui à tout vecteur x de E s’écrivant sous la forme
x = x 1 + x 2 où x 1 ∈ F 1 et x 2 ∈ F 2 associe le vecteur p(x) = x 1
Pour tout vecteur x de E, nous savons qu’il existe un seul couple (x 1 , x 2 ) ∈ F 1 × F 2
tel que x = x 1 + x 2 , l’application p est donc bien définie. Notons q la projection sur
F 2 parallèlement à F 1 . On dit que p et q sont les deux projections associées à la somme
directe F 1 ⊕ F 2 . Nous avons alors
∀x ∈ E
x= p(x) + q(x) avec p(x) ∈ F 1 et q(x) ∈ F 2 .
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