Chapitre 2 – Applications linéaires
Preuve
Montrons par exemple la première propriété.
Soit x ∈ E, on a
s ◦ (lu + mv)
(x) = s
(lu + mv)(x)
= s
lu(x) + mv(x)
= s
lu(x)
+ s
mv(x)
= l(s ◦ u)(x) + m(s ◦ v)(x)
d’où s ◦ (lu + mv) = ls ◦ u + ms ◦ v.
❑
➤ Remarque
Pour simplifier les écritures et s’il n’y a pas d’ambiguïté, nous noterons parfois s ◦ u plus simplement par su ; nous
écrirons par exemple s(lu + mv) = lsu + msv.
L’ensemble L(E) des endomorphismes
Dans l’ensemble L(E) des endomorphismes de E, nous pouvons composer les éléments entre eux sans restriction.
Définition 8
Soit u un endomorphisme non nul de L(E).
On définit u
n dans L(E) pour tout entier naturel n par la récurrence
u
0 = Id E ,
∀n ∈ N, u
n+1 = u ◦ u
n .
Exemple
Soit a ∈ R, on définit l’application u par
R[X] → R[X]
P → P(X + a)
Pour tous polynômes P et Q et tous réels l et m, (lP + mQ)(X + a) = lP(X + a) + mQ(X + a) ;
l’application u est linéaire, c’est un endomorphisme de R[X].
Pour tout polynôme P de R[X], on a u
2 (P) = u
P (X + a)
= P
(X + a) + a
= P(X + 2a).
Par récurrence, on prouve que pour tout n ∈ N, u
n (P) = P(X + na).
➤ Remarques
• Il est facile de montrer par récurrence sur p les égalités naturelles suivantes u
n ◦ u
p = u
n+p et (u
n )
p = u
np où n
et p sont des entiers naturels.
• Si u est un endomorphismes de E et P =
n
i=0
a i X
i un polynôme de K[X], alors l’écriture P(u) représentera
l’endomorphisme
n
i=0
a i u
i .
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