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L’ensemble des applications linéaires de E dans F
Montrons que u + v est linéaire. Soient l, m deux éléments de K et x et y deux vecteurs de E ; on a
(u + v)(lx + my) = u(lx + my) + v(lx + my)
= lu(x) + mu(y) + lv(x) + mv(y)
= l(u + v)(x) + m(u + v)(y).
Montrons maintenant que au est linéaire. Soient l, m deux scalaires et x, y deux vecteurs de E ; on a
(au)(lx + my) = a
u
lx + my
= a
lu (x) + mu (y)
= l(au)(x) + m(au)(y).
Nous avons donc bien donc une loi de composition interne et une loi de composition externe définies sur L(E, F).
Pour achever la démonstration, nous laissons au lecteur le soin de vérifier les huit propriétés ANSCANDD des
espaces vectoriels ; par exemple l’élément neutre pour l’addition est l’application linéaire nulle et l’opposé d’une
application linéaire u est l’application −u = (−1)u.
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➤ Remarque
Les vérifications que nous proposons au lecteur sont exactement comparables à celles que nous avons faites en
détail dans le livre de première année pour les polynômes et pour les matrices.
3.2 Les ensembles L(E, F) : au-delà de l’aspect vectoriel
Composition des applications linéaires, cas général
Proposition 10
Soient E, F et G trois espaces vectoriels, soient u ∈ L(E, F) et v ∈ L(F, G) alors
v ◦ u ∈ L(E, G).
On retiendra que la composition de deux applications linéaires est une application
linéaire.
Preuve
Soient (x, y) un couple d’éléments de E et l, m deux scalaires. On a
(v ◦ u)(lx + my) = v
u
lx + my
= v
lu (x) + mu (y)
= lv
u (x)
+ mv
u
y
= l(v ◦ u)(x) + m(v ◦ u)(y).
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Proposition 11
Pour tout couple (u, v) d’applications de L(E, F), tout couple (s, t) d’applications de
L(F, G) et tout couple de scalaires (l, m) on a
s ◦ (lu + mv) = ls ◦ u + ms ◦ v
(ls + mt) ◦ u = ls ◦ u + mt ◦ u.
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