Chapitre 2 – Applications linéaires
Théorème 4
Soient E un espace de dimension finie et u un endomorphisme de E. On a les équivalences
u est injective ⇐⇒ u est surjective ⇐⇒ u est bijective.
Preuve
D’après le théorème précédent
u est injective ⇐⇒ rg(u) = dim(E) ⇐⇒ u est surjective.
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➤ Remarque
Nous verrons (voir exercice 3.) que cette propriété est fausse en dimension infinie.
Théorème 5
Soient E un espace de dimension finie et u et v deux endomorphismes de E. On a
u ◦ v = Id E ⇐⇒ u est un isomorphisme de E et v est son isomorphisme réciproque.
Preuve
Si l’on a u ◦ v = IdE, l’endomorphisme u est surjectif, donc bijectif. En composant à gauche par u −1 , nous
obtenons v = u −1 . La réciproque ne fait que traduire les définitions d’isomorphisme et d’isomorphisme réciproque.
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➤ Remarques
• Rappelons que la définition de u est une bijection de E dans F est qu’il existe une application de F dans E telle
que u ◦ v = IdE et v ◦ u = IdF ; l’intérêt du théorème ci-dessus de réduire à une seule égalité cette définition,
dans le cas des endomorphismes d’un espace de dimension finie.
• Nous verrons (voir exercice 3.) que cette propriété est fausse en dimension infinie.
3. L’ensemble des applications linéaires de E dans F
3.1 L’ensemble L(E, F) : aspect vectoriel
Proposition 9
L’ensemble L(E, F) a une structure d’espace vectoriel pour les lois internes et externes
induites par celles de F. En particulier l’ensemble L(E) des endomorphismes de E est un
espace vectoriel.
Preuve
Soient u, v deux éléments de L(E, F), a un scalaire et x un vecteur de E.
Nous définissons de manière naturelle les applications u + v et au de E dans F par
(u + v)(x) = u(x) + v(x)
(au)(x) = au(x).
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