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Rang d’une application linéaire
Théorème 2 (Théorème du rang)
Soit u ∈ L(E, F) où E est de dimension finie. On a
dim(E) = dim
Ker(u)
+ dim
m(u)
.
Preuve
Soit (e1, e2, . . . , e k ) une base de Ker(u) que l’on complète en une base (e1, e2, . . . , e k , e k+1 , . . . , ep) de E. D’après
ce qui précède, on sait que
u(e1), u(e2), . . . , u(e k ), u(e k+1 ), . . . , u(ep)
est génératrice de m(u). Mais comme
u(e1) = u(e2) = · · · = u(e k ) = 0, la famille
u(e k+1 ), . . . , u(ep)
est aussi génératrice de m(u). Montrons que
cette famille est libre. Soient a k+1 , . . . , ap des scalaires tels que
a k+1 u(e k+1 ) + a k+2 u(e k+2 ) + · · · + apu(ep) = 0
Par linéarité on a u
p
i=k+1
a i e i
= 0, soit
p
i=k+1
a i e i ∈ Ker(u). Il existe donc des réels a1, . . . , a k tels que
p
i=k+1
a i e i =
k
i=1
a i e i .
On a alors
k
i=1
a i e i −
p
i=k+1
a i e i = 0. Comme la famille (e1, e2, . . . , ep) est une base, les réels a1, a2, . . . , ap sont
nuls.
En résumé, la famille (e1, e2, . . . , ep) est une base de E, la famille (e1, e2, . . . , e k ) est une base de Ker(u) et
u(e k+1 ), . . . , u(ep)
est une base de m(u). On a donc
dim(E) = dim
Ker(u)
+ dim
m(u)
.
❑
2.2 Application à la caractérisation des isomorphismes
Théorème 3
Soit u ∈ L(E, F) où E et F sont de dimension finie.
• u est injective si, et seulement si, rg(u) = dim(E).
• u est surjective si, et seulement si, rg(u) = dim(F).
Preuve
Grâce au théorème du rang, nous pouvons écrire les équivalences
rg(u) = dim(E) ⇐⇒ dim
m(u)
= dim(E)
⇐⇒ dim(E) − dim
Ker(u)
= dim(E)
⇐⇒ dim
Ker(u)
= 0
⇐⇒ Ker(u) = {0}
⇐⇒ u est injective.
De même
rg(u) = dim(F) ⇐⇒ dim
m(u)
= dim(F)
⇐⇒ ⇒m(u) = F
⇐⇒ u est surjective.
❑
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