Chapitre 2 – Applications linéaires
Théorème 1
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Les espaces E et F sont isomorphes si, et seulement s’ils sont de même dimension. En particuliers, tous les espaces
vectoriels sur K de dimensions n sont isomorphes à K
n .
Preuve
Soient E et F deux espaces de dimension finie.
Supposons qu’il existe un isomorphisme u de E vers F. Soit B une base de E, on sait que l’image par
u de B est une famille génératrice de F (voir proposition 4) et une famille libre de F (voir proposition 8).
On a donc une base de F qui compte autant d’éléments qu’une base de E, on en déduit que dim(E) = dim(F).
Réciproquement supposons que dim(E) = dim(F). Soient (e1, e2, . . . , en) une base de E et (f1, f2, . . . , fn) une
base de F, on sait qu’il existe une unique application linéaire u de E vers F telle que pour i ∈ Ú1, nÛ, u(e i ) = f i
(voir proposition 5) . Comme l’image par u de la base (e1, e2, . . . , en) est la base (f1, f2, . . . , fn), u est un
isomorphisme. E et F sont bien isomorphes.
Nous savons de plus que K
n est de dimension n, ce qui achève la démonstration.
❑
Corollaire 1
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et u une application linéaire de
E vers F. L’application u est un isomorphisme si, et seulement si, l’image d’une base de E
par u est une base de F.
Preuve
Considérons une base B de E. Nous savons que u est surjective si, et seulement si, l’image de B par u est
génératrice de F (proposition 4) et qu’elle injective si, et seulement si, l’image de B par u est libre dans F
(proposition 8). L’application u sera donc bijective si, et seulement si, l’image de B est une base de F.
❑
2. Rang d’une application linéaire
2.1 Théorème du rang
Définition 6
Soit une famille de vecteurs (f 1 , f 2 , . . . , f p ), on appelle rang de cette famille, et l’on note
rg(f 1 , f 2 , . . . , f p ), la dimension de Vect(f 1 , f 2 , . . . , f p ) .
Définition 7
Soit u ∈ L(E, F). Si m(u) est de dimension finie, on appelle rang de u et on note rg(u)
la dimension de m(u).
➤ Remarque
En particulier si E est de dimension finie, alors le rang de u est défini. En effet, si B = (e1, e2, . . . , ep) est une base
de E, alors la famille de vecteurs
u(e1), u(e2), . . . , u(ep)
engendre m(u) qui est donc de dimension finie ; le rang
de u est aussi le rang de cette famille de vecteurs, il ne dépend pas de la base de E choisie pour le déterminer.
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Théorème 1
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Les espaces E et F sont isomorphes si, et seulement s’ils sont de même dimension. En particuliers, tous les espaces
vectoriels sur K de dimensions n sont isomorphes à K
n .
Preuve
Soient E et F deux espaces de dimension finie.
Supposons qu’il existe un isomorphisme u de E vers F. Soit B une base de E, on sait que l’image par
u de B est une famille génératrice de F (voir proposition 4) et une famille libre de F (voir proposition 8).
On a donc une base de F qui compte autant d’éléments qu’une base de E, on en déduit que dim(E) = dim(F).
Réciproquement supposons que dim(E) = dim(F). Soient (e1, e2, . . . , en) une base de E et (f1, f2, . . . , fn) une
base de F, on sait qu’il existe une unique application linéaire u de E vers F telle que pour i ∈ Ú1, nÛ, u(e i ) = f i
(voir proposition 5) . Comme l’image par u de la base (e1, e2, . . . , en) est la base (f1, f2, . . . , fn), u est un
isomorphisme. E et F sont bien isomorphes.
Nous savons de plus que K
n est de dimension n, ce qui achève la démonstration.
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Corollaire 1
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et u une application linéaire de
E vers F. L’application u est un isomorphisme si, et seulement si, l’image d’une base de E
par u est une base de F.
Preuve
Considérons une base B de E. Nous savons que u est surjective si, et seulement si, l’image de B par u est
génératrice de F (proposition 4) et qu’elle injective si, et seulement si, l’image de B par u est libre dans F
(proposition 8). L’application u sera donc bijective si, et seulement si, l’image de B est une base de F.
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2. Rang d’une application linéaire
2.1 Théorème du rang
Définition 6
Soit une famille de vecteurs (f 1 , f 2 , . . . , f p ), on appelle rang de cette famille, et l’on note
rg(f 1 , f 2 , . . . , f p ), la dimension de Vect(f 1 , f 2 , . . . , f p ) .
Définition 7
Soit u ∈ L(E, F). Si m(u) est de dimension finie, on appelle rang de u et on note rg(u)
la dimension de m(u).
➤ Remarque
En particulier si E est de dimension finie, alors le rang de u est défini. En effet, si B = (e1, e2, . . . , ep) est une base
de E, alors la famille de vecteurs
u(e1), u(e2), . . . , u(ep)
engendre m(u) qui est donc de dimension finie ; le rang
de u est aussi le rang de cette famille de vecteurs, il ne dépend pas de la base de E choisie pour le déterminer.
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