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Applications linéaires
Proposition 8
Soient E un espace vectoriel de dimension finie p, (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de E, u une
application linéaire définie sur E et f 1 = u(e 1 ), f 2 = u(e 2 ), . . . , f p = u(e p ), les images des
vecteurs de la base de E.
L’application u est injective si, et seulement si, la famille (f 1 , f 2 , . . . , f p ) est une famille libre
de F.
Preuve
Supposons que u soit injective. Soit
p
i=1
l i f i = 0F une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la famille
(f1, f2, . . . , fp). Nous avons alors
u
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i u(e i ) =
p
i=1
l i f i = 0F .
Comme u est injective, le seul antécédent de 0F par u est 0E. Nous avons donc
p
i=1
l i e i = 0E. La famille
(e1, e2, . . . , ep) est libre, les scalaires (l1, l2, . . . , lp) sont donc tous nuls, la famille (f1, f2, . . . , fp) est libre.
Réciproquement, soit u une application linéaire définie sur E telle que la famille (f1, f2, . . . , fp) est une famille
libre de F. Soit x un élément de E appartenant au noyau de u et soit (l1, l2, . . . , lp) les coordonnées de x
sur la base (e1, e2, . . . , ep). Nous avons
0F = u(x) = u
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i f i .
La famille (f1, f2, . . . , fp) étant libre, les scalaires (l1, l2, . . . , lp) sont tous nuls, x = 0E, le noyau de u est
réduit à {0E}, u est injective.
❑
1.4 Isomorphismes de E dans F
Définition 4
Une application linéaire de E vers F bijective est appelée un isomorphisme de E dans F.
➤ Remarque
Soit u un isomorphisme de E vers F. L’application réciproque u −1 de F vers E est aussi un isomorphisme. En effet
u −1 est une bijection de F vers E et pour tous scalaires l et m et tous vecteurs y1 et y2 de F nous avons, en posant
x1 = u −1 (y1) et x2 = u −1 (y2)
ly1 + my2 = lu(x1) + mu(x2) = u(lx1 + mx2)
et
u
−1 (ly1 + my2) = u
−1
u(lx1 + mx2)
= lx1 + mx2 = lu
−1 (y1) + mu
−1 (y2),
ce qui démontre que u −1 est une application linéaire.
Définition 5
Soit E et F deux espaces vectoriels. S’il existe un isomorphisme u de E vers F, on dit que
E et F sont isomorphes et u
−1 est l’isomorphisme réciproque de u.
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Applications linéaires
Proposition 8
Soient E un espace vectoriel de dimension finie p, (e 1 , e 2 , . . . , e p ) une base de E, u une
application linéaire définie sur E et f 1 = u(e 1 ), f 2 = u(e 2 ), . . . , f p = u(e p ), les images des
vecteurs de la base de E.
L’application u est injective si, et seulement si, la famille (f 1 , f 2 , . . . , f p ) est une famille libre
de F.
Preuve
Supposons que u soit injective. Soit
p
i=1
l i f i = 0F une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la famille
(f1, f2, . . . , fp). Nous avons alors
u
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i u(e i ) =
p
i=1
l i f i = 0F .
Comme u est injective, le seul antécédent de 0F par u est 0E. Nous avons donc
p
i=1
l i e i = 0E. La famille
(e1, e2, . . . , ep) est libre, les scalaires (l1, l2, . . . , lp) sont donc tous nuls, la famille (f1, f2, . . . , fp) est libre.
Réciproquement, soit u une application linéaire définie sur E telle que la famille (f1, f2, . . . , fp) est une famille
libre de F. Soit x un élément de E appartenant au noyau de u et soit (l1, l2, . . . , lp) les coordonnées de x
sur la base (e1, e2, . . . , ep). Nous avons
0F = u(x) = u
p
i=1
l i e i
=
p
i=1
l i f i .
La famille (f1, f2, . . . , fp) étant libre, les scalaires (l1, l2, . . . , lp) sont tous nuls, x = 0E, le noyau de u est
réduit à {0E}, u est injective.
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1.4 Isomorphismes de E dans F
Définition 4
Une application linéaire de E vers F bijective est appelée un isomorphisme de E dans F.
➤ Remarque
Soit u un isomorphisme de E vers F. L’application réciproque u −1 de F vers E est aussi un isomorphisme. En effet
u −1 est une bijection de F vers E et pour tous scalaires l et m et tous vecteurs y1 et y2 de F nous avons, en posant
x1 = u −1 (y1) et x2 = u −1 (y2)
ly1 + my2 = lu(x1) + mu(x2) = u(lx1 + mx2)
et
u
−1 (ly1 + my2) = u
−1
u(lx1 + mx2)
= lx1 + mx2 = lu
−1 (y1) + mu
−1 (y2),
ce qui démontre que u −1 est une application linéaire.
Définition 5
Soit E et F deux espaces vectoriels. S’il existe un isomorphisme u de E vers F, on dit que
E et F sont isomorphes et u
−1 est l’isomorphisme réciproque de u.
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