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Applications de la réduction
Exercice 3.
La matrice B =
1 −1
1
1
est-elle diagonalisable dans R ? dans C ?
Solution. Commençons par chercher les valeurs propres de B en triangulant la matrice B − lI 2
1 − l
−1
1
1− l
1
1− l
1 − l
−1
L 1 ↔ L 2
1
1− l
0 (1 − l)
2 + 1
L 2 ← (1 − l)L 1 − L 2
La matrice
1 − l −1
1
1− l
est non inversible si et seulement si (1 − l)
2 + 1 = 0, soit
encore (1 − l − i)(1 − l + i) = 0. Et donc B n’a pas de valeur propre réelle, elle n’est pas
diagonalisable dans R. Comme B possède 2 valeurs propres distinctes complexes et que nous
sommes en dimension 2, la matrice B est bien diagonalisable sur C.
5. Applications de la réduction
5.1 Calcul de la puissance n
ème d’une matrice
Soit A une matrice de M n (K). Supposons avoir trouvé une matrice inversible P
de M n (K) telle que P −1 AP = Diag(l 1 , . . . , l n ). Nous avons alors pour tout entier
naturel k
A
k = P
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
l 1 0 . . . 0
0 l 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 . . . 0 l n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
k
P
−1 = P
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
l
k
1
0 . . . 0
0 l
k
2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 . . . 0 l
k
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
P
−1 .
Exercice 4.
Soit A =
3 −4
−2
1
. Déterminer la valeur de A
n pour n ∈ N.
Solution. Recherchons les valeurs propres de A en triangulant la matrice A − lI 2 .
3 − l
−4
−2
1− l
−2
1− l
3 − l
−4
L 1 ↔ L 2
−2
1− l
0 l
2
− 4l − 5
L 2 ← 2L 2 + (3 − l)L 1
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