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SOLUTIONS
Solutions
11.
1. On a, pour tout k ∈ N, P([X = k]) =
e
−10 10
k
k!
et P([X = k + 1]) =
e
−10 10
k+1
(k + 1)!
et donc
P([X = k + 1])
P([X = k)
=
10
k
·
On a donc P([X = 11]) = P([X = 10]), P([X = k + 1]) > P([X = k) si k < 10 et
P([X = k + 1]) < P([X = k) si k > 10. Ainsi la suite
P([X = k])
croît si k 10 décroît
si k 11. Les valeurs de k ayant la probabilité maximale sont 10 et 11.
2. La probabilité qu’il y ait entre 7 et 12 œufs pondus en 15 minutes est
P([7 X 15]) =
12
k=7
e
−10 10
k
k!
≈ 0, 66.
3. On fait l’hypothèse que les états des différents œufs (déclassés ou non) sont indépendants.
Alors Y N suit la loi binomiale de paramètre (N; 0, 03).
4. a. Ici, Y N suit la loi B(4 000; 0, 03). On a E(Y N ) = 4 000 · 0, 03 = 120 et
V (Y ) = 4 000 · 0,03 · 0,97 = 116,4. On peut approcher Y N par une variable Z
suivant une loi normale de même espérance et de même variance, c’est-à-dire une loi
N (120, 116,4). On a, pour tout réel x,
f (x) =
1
√
232,8p
e
−
(x−120) 2
232,8
et F(x) =
x
−∞
1
√
232,8p
e
−
(t−120) 2
232,8
dt.
b. La fonction F est dérivable de dérivée f , donc w est dérivable et, pour tout réel x,
w
(x) = f (x + h) − f (x − h) =
1
√
232,8p
e
−
(x+h−120) 2
232,8
− e
−
(x−h−120) 2
232,8
.
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante w
(x) a le signe de
g(x) = −(x + h − 120)
2 + (x − h − 120)
2 = −(2x − 240)(2h) = −4h(x − 120). Ainsi
w
(x) = 0 si x = 120 , w
(x) > 0 si x < 120 et w
(x) < 0 si x > 120. La fonction w
croît sur ] − ∞, 120] et décroît sur [120, +∞[. La fonction w possède un maximum
obtenu en 120.
Notons 2h l’amplitude fixée de l’intervalle [a, b], i.e. 2h = b − a et x =
a + b
2
· On a
alors x = a − h et b = x + h. Comme on approche Y N par Z de fonction de répartition
F, on remplace P([a Y N b]) par
P([a Z b]) = F(b) − F(a) = F(x + h) − F(x − h) = w(x).
Cette probabilité est maximale pour x = 120, c’est-à-dire pour a = 120 − h et
b = 120 + h.
c. On prend donc x = 120. On cherche h minimal tel que a = 120 − h et
b = 120 + h, tel que P([a Y N b] > 0, 95. On a remplacé P([a Y N b] par
w(x) = w(120) = P([120 − h Z 120 + h]). La variable
Z − 120
√
116,4
suit la loi
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11.
1. On a, pour tout k ∈ N, P([X = k]) =
e
−10 10
k
k!
et P([X = k + 1]) =
e
−10 10
k+1
(k + 1)!
et donc
P([X = k + 1])
P([X = k)
=
10
k
·
On a donc P([X = 11]) = P([X = 10]), P([X = k + 1]) > P([X = k) si k < 10 et
P([X = k + 1]) < P([X = k) si k > 10. Ainsi la suite
P([X = k])
croît si k 10 décroît
si k 11. Les valeurs de k ayant la probabilité maximale sont 10 et 11.
2. La probabilité qu’il y ait entre 7 et 12 œufs pondus en 15 minutes est
P([7 X 15]) =
12
k=7
e
−10 10
k
k!
≈ 0, 66.
3. On fait l’hypothèse que les états des différents œufs (déclassés ou non) sont indépendants.
Alors Y N suit la loi binomiale de paramètre (N; 0, 03).
4. a. Ici, Y N suit la loi B(4 000; 0, 03). On a E(Y N ) = 4 000 · 0, 03 = 120 et
V (Y ) = 4 000 · 0,03 · 0,97 = 116,4. On peut approcher Y N par une variable Z
suivant une loi normale de même espérance et de même variance, c’est-à-dire une loi
N (120, 116,4). On a, pour tout réel x,
f (x) =
1
√
232,8p
e
−
(x−120) 2
232,8
et F(x) =
x
−∞
1
√
232,8p
e
−
(t−120) 2
232,8
dt.
b. La fonction F est dérivable de dérivée f , donc w est dérivable et, pour tout réel x,
w
(x) = f (x + h) − f (x − h) =
1
√
232,8p
e
−
(x+h−120) 2
232,8
− e
−
(x−h−120) 2
232,8
.
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante w
(x) a le signe de
g(x) = −(x + h − 120)
2 + (x − h − 120)
2 = −(2x − 240)(2h) = −4h(x − 120). Ainsi
w
(x) = 0 si x = 120 , w
(x) > 0 si x < 120 et w
(x) < 0 si x > 120. La fonction w
croît sur ] − ∞, 120] et décroît sur [120, +∞[. La fonction w possède un maximum
obtenu en 120.
Notons 2h l’amplitude fixée de l’intervalle [a, b], i.e. 2h = b − a et x =
a + b
2
· On a
alors x = a − h et b = x + h. Comme on approche Y N par Z de fonction de répartition
F, on remplace P([a Y N b]) par
P([a Z b]) = F(b) − F(a) = F(x + h) − F(x − h) = w(x).
Cette probabilité est maximale pour x = 120, c’est-à-dire pour a = 120 − h et
b = 120 + h.
c. On prend donc x = 120. On cherche h minimal tel que a = 120 − h et
b = 120 + h, tel que P([a Y N b] > 0, 95. On a remplacé P([a Y N b] par
w(x) = w(120) = P([120 − h Z 120 + h]). La variable
Z − 120
√
116,4
suit la loi
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