Chapitre 12 – Convergence de variables aléatoires
Ainsi
√
n est solution de l’inéquation
0, 9x
2
− 0, 4935x − 300 0.
Les solutions de l’équation du second degré sont approximativement −17, 99 et 18, 53. Il faut
prendre
√
n 18, 53, soit n 344.
9.
On note n le nombre de lignes installées et X le nombre d’employés qui téléphonent
à l’instant un instant donné t. On cherche n tel que P([X n]) 0, 025.
La probabilité pour qu’un employé téléphone à l’instant t est
6
60
=
1
10
· Les appels des
employés étant supposés indépendants, X suit la loi binomiale B
300,
1
10
. L’espérance de
X vaut 300 ·
1
10
= 30, et l’écart-type
300 ·
1
10
·
9
10
= 3
√
3.
Posons X
∗ =
X − 30
3
√
3
· On peut approcher X
∗ par loi normale N (0, 1). On note F la fonction
de répartition de la loi normale. On a
P([X n]) = P
X
∗
n − 30
3
√
3
≈ 1 − F
n − 30
3
√
3
.
Il faut choisir n tel que 1 − F
n − 30
3
√
3
0, 025, c’est-à-dire F
n − 30
3
√
3
0, 975. On
constate que F(1, 96) = 0, 975. Il faut donc
n − 30
3
√
3
1, 96 soit n 41. Il faut installer au
moins 41 lignes.
10.
1. Une somme de variables indépendantes, suivant une loi de Poisson, suit une loi
de Poisson dont le paramètre est la somme des paramètre des différentes variables aléatoires.
Ainsi S n suit une loi de Poisson de paramètre n.
2. On a donc
P([S n n]) =
n
k=0
P([S n = k]) =
n
k=0
e
−n n
k
k!
= e
−n
n
k=0
n
k
k!
·
3. On sait que E(S n ) = n et V (S n ) = n. D’après le théorème central limite, la variable
S n − n
√
n
converge en loi vers la loi normale centrée réduite. En appelant F la fonction de répartition
de celle-ci, on obtient
lim
n→+∞
P([S n n]) = lim
n→+∞
P
S n − n
√
n
0
= F(0) =
1
2
,
c’est-à-dire
lim
n→+∞
e
−n
n
k=0
n
k
k!
=
1
2
.
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