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SOLUTIONS
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7.
Soit X le nombre de 6 obtenus sur les 9 000 lancers, on sait que X → B(9 000, 1/6).
En approchant la loi de X
∗ par la loi normale centrée réduite, on obtient
1. Sans correction de continuité,
P([1 400 X 1 600]) = P
⎛
⎝
⎡
⎣ 1 400 − 1 500
9 000 ×
5
36
X
∗
1 600 − 1 500
9 000 ×
5
36
⎤
⎦
⎞
⎠
= P(−2, 83 X
∗
2, 83)
≈ 2F(2, 83) − 1 = 2 × 0, 9977 − 1 ≈ 0, 9954.
2. Avec correction de continuité,
P(1 400 X 1 600) = P
[1 399, 5 X 1 600, 5]
= P
⎛
⎝
⎡
⎣ 1 399, 5 − 1 500
9 000 ×
5
36
X
∗
1 600, 5 − 1 500
9 000 ×
5
36
⎤
⎦
⎞
⎠
= P
[−2, 84 X
∗
2, 84]
≈ 2F(2, 84) − 1 = 2 × 0, 9977 − 1 ≈ 0, 9954.
C’est-à-dire la même valeur.
Par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on remarque que
P
[1 400 X 1 600]
= P
[|X − 1 500| 100]
= 1 − P([|X − E(X)| 101]).
Or l’inégalité donne
P([|X − E(X)| 101])
V (X)
101 2 =
√
1 250
(101) 2 ≈ 3, 47
soit
P([1 400 X 1 600]) 1 − 3, 47 · 10
−2
≈ 0, 9965
8.
La probabilité qu’un soldat ne soit pas dévoré est
9
10
· Si on envoie n soldats, le nombre
de soldats qui arrivent sur l’autre rive suit la loi binomiale de paramètre (n; 0, 9). Pour n 30,
0, 1 n 5 et 0, 9 n 5 soit n 50, on peut approcher la loi de X par la loi normale de
paramètre (0, 9 n; 0, 09 n) et donc la loi de
X − 0, 9 n
0, 3
√
n
par la loi normale centrée réduite.
On veut que P([X 300]) 0, 95. On a
P([X 300]) = P
X − 0, 9 n
0, 3
300 − 0, 9 n
0, 3
√
n
≈ 1 − F
300 − 0, 9 n
0, 3
√
n
,
où F est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Il faut F
300 − 0, 9 n
0, 3
√
n
0, 05. Grâce à une table, on trouve F(1, 645) ≈ 0, 95 et donc
F(−1, 645) = 1−F(1, 645) ≈ 0, 05. Comme F est croissante, il faut
300 − 0, 9n
0, 3
√
n
−1, 645.
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