Chapitre 12 – Convergence de variables aléatoires
b. En prenant, pour n 1, ´ =
1
n r dans l’inégalité précédente, on obtient
0 P
S n
n
−
1
2
1
n r
n
2r
4n
1
4n 1−2r ·
Comme r <
1
2
, on a 1 − 2r > 0. On en déduit lim
n→+∞
1
4n 1−2r = 0 et par encadrement
lim
n→+∞
P
S n
n
−
1
2
1
n r
= 0.
3. Comme S n est une somme de variables aléatoires de même loi, la variable centrée réduite
associée à
S n
n
, c’est-à-dire Z n =
Sn
n −
1
2
1
2
√
n
converge en loi vers une variable Z qui la loi
normale centrée réduite. On a pour n 1,
P
S n
n
−
1
2
1
√
n
= P
|Z n | 2
= 1 − P
|Z n | < 2
.
On a donc
lim
n→+∞
P
S n
n
−
1
2
1
√
n
= 1 − P(|Z| < 2) = 0.
5.
On peut considérer que la probabilité qu’un mot soit mal orthographié est
1
500
· Le
nombre X de fautes dans un devoir contenant 200 mots suit une loi binomiale de paramètre
200,
1
500
. Comme 200 > 30 et
1
500
< 0, 1, on peut approcher la loi de X par un loi de
Poisson de paramètre l =
200
500
= 0, 4. On a donc
P([X 5]) ≈ e
−0,4
5
k=0
(0, 4)
k
k!
≈ 0, 99994.
6.
Soit X le nombre de T-Shirts achetés. On a X → B(5 000, 0,4). Comme 5 000 30,
5 000 × 0,4 5 et 5 000 × 0,6 5 on peut approcher la loi de X
∗ par la loi normale centrée
réduite.
Soit n le nombre de T-Shirts dont on dispose, on cherche donc n tel que P(X > n) < 0,1, soit
P
X − 2 000
20
√
3
>
n − 2 000
20
√
3
< 0,1 ⇔ P
X
∗ >
n − 2 000
20
√
3
< 0,1
⇔ 1 − F
n − 2 000
20
√
3
< 0,1
⇔ F
n − 2 000
20
√
3
> 0,9
Soit d’après la loi normale,
n − 2 000
20
√
3
≈ 0,8159, c’est-à-dire n valant au moins
20
√
3 × 0,8159 + 2 000 ≈ 2 029.
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