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SOLUTIONS
Solutions
3.
1. La variable M n est à valeurs dans [0, 1] donc P
[M n x]
= 0 si x < 0 et 1 si
x > 1. Pour x ∈ [0, 1],
P([M n x]) = P
n
k=1
[X K x]
=
n
k=1
P
[X k x]
= x
n .
Comme
P([Y n x]) = P([n(1 − M n ) x]) = P
M n 1 −
x
n
= 1 − P
M n 1 −
x
n
,
on en déduit
F Yn (x) = P([Y n x]) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 − 1 = 0
s ix < 0
1 −
1 −
x
n
n
si x ∈ [0, n]
1 − 0 = 1
s i x > 1.
2. Pour x < 0, la suite
F Yn (x)
est nulle donc lim
n→+∞
(F Mn (x) = 0.
Pour x 0, on a pour n > x, F Yn (x) = 1 −
1 −
x
n
n
= 1 − e
n ln(1−
x
n ) . Quand n tend vers
+∞,
x
n
tend vers 0 donc ln
1 −
x
n
∼ −
x
n
et n ln
1 −
x
n
∼ −x. On en déduit que
lim
n→+∞
F Yn (x) = lim
n→+∞
1 −
1 −
x
n
n
= 1 − e
−x .
La suite (Y n ) converge en loi vers une variable Z dont la fonction de répartition F est
définie par F(x) = 0 si x < 0 et F(x) = 1 − e
−x pour x 0, c’est-à-dire vers une variable
qui suit la loi exponentielle de paramètre 1.
4.
1. a. La variable S n , somme de n variables de Bernoulli de paramètre
1
2
, indépendantes, suit la loi binomiale de paramètre
n,
1
2
.
b. On a donc E(S n ) =
n
2
et V (S n ) =
n
4
·
2. a. On déduit de la question précédente que
E
S n
n
=
1
2
et V
S n
n
=
V (S n )
n 2 =
1
4n
·
Soit ´ > 0. En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable
S n
n
, on
obtient
P
S n
n
−
1
2
´
V
S n
n
´ 2
1
4n´ 2 ·
C’est l’inégalité demandé avec K ´ =
1
4´ 2 ·
609