Chapitre 12 – Convergence de variables aléatoires
Chapitre 12
1.
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et F sa fonction
de répartition, on a F(x) =
1
√
2p
x
−∞
e
−
t 2
2 dt. En divisant par
√
2p, l’inégalité à démontrer
s’écrit donc F(x)
1 −
1
2x 2
. Comme la variable X est centré et réduite, l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev s’écrit, pour x > 0,
P
[|X| x]
1
x 2 .
On a, puisqu’une densité de X est paire,
P
[|X| x]
= P
[X x]
+ P
[X −x]) = 2P
[X x]
= 2(1 − F(x)).
Ainsi 2(1 − F(x))
1
x 2 et donc F(x) 1 −
1
2x 2 , ce qui est le résultat voulu.
2.
1. La variable aléatoire Z n,x est à valeurs dans Ú0, nÛ. Pour tout k ∈ Ú0, nÛ, l’événement Z n,x est la réunion des événements
i∈I
[X i x]
i∈Ú1,nÛ
/
∈I
[X i > x], pour toutes les
parties I de Ú1, nÛ de cardinal k. Par indépendance des variables un tel événement a pour
probabilité
F(x)
k
1 − F(x)
n−k .
Comme il y a
n
k
choix pour la partie I de Ú1, nÛ, on obtient
P([Z n,x = k]) =
n
k
F(x)
k
1 − F(x)
n−k .
Ainsi Z n,x suit la loi binomiale de paramètre (n, F(x)) et
E(Z n,x ) = nF(x), V(Z n,x ) = nF(x)
1 − F(x)
.
On a, pour tout p ∈ [0, 1], p(1 − p)
1
4
et donc V (Z n,x )
n
4
·
2. On en déduit que E(T n,x ) = F(x) et V (T n,x ) =
1
n 2 V (Z n,x )
1
4n
·
On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour tout ´ > 0,
0 P
[|T n,x − F(x)| ´]
= P
[|T n,x − E(T n,x | ´]
V (T n,x )
´ 2
1
4n´ 2 ·
Par encadrement, on en déduit lim
n→+∞
P
[|T n,x − F(x)| ´]
= 0.
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