© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
L’ensemble B est d’aire nulle (c’est la réunion de deux demi-droites et d’une partie
d’une hyperbole). Si (u, v) /
∈ B, on obtient
si (u, v) /
∈ A, g(u, v) =
∂
2 F
∂u∂v
(u, v) = 0 ;
si (u, v) ∈ A et v < 1,
∂F
∂v
(u, v) = −
1
2uv
+
1
2
et donc
g(u, v) =
∂
2 F
∂u∂v
(u, v) =
1
2u 2 v
;
si (u, v) ∈ A et v > 1,
∂F
∂v
(u, v) = −
1
2uv
+
1
2v 2 et donc
g(u, v) =
∂
2 F
∂u∂v
(u, v) =
1
2u 2 v
·
Comme on peut choisir arbitrairement g sur B, on obtient le résultat voulu.
d. Pour obtenir les lois marginales, on intègre g par rapport à une des variables.
La variable U est à valeurs dans [1, +∞[, donc f U (u) = 0 si u < 1 et pour u 1,
f U (u) =
+∞
−∞
g(u, v) dv =
u
1
u
1
2u 2 v
dv =
1
2u 2
ln u − ln
1
u
=
ln u
u 2 ·
La variable V est à valeurs dans ]0, +∞[, donc f V (v) = 0 si v 0 et pour v > 0,
f V (v) =
+∞
−∞
g(u, v) du. On a (u, v) ∈ A si u 1, uv 1 et u v.
Si v 1, cela équivaut à u v et donc
f V (v) =
+∞
v
1
2u 2 v
du =
−
1
2uv
+∞
v
=
1
2v 2 ·
Si 0 < v 1, cela équivaut à u
1
v
et donc
f V (v) =
+∞
1
v
1
2u 2 v
du =
−
1
2uv
+∞
1
v
=
1
2
·
On obtient
f V (v) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
siv 0
1
2
si 0 < v < 1
1
2v 2 si v 1.
Si u > 1 et
1
u
< v < 1, f U (u)f V (v) =
ln u
2u 2 = g(u, v) : les variables U et V ne sont pas
indépendantes.
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