Chapitre 11 – Couples de variables à densité
On en déduit
F(u, v) =
√
uv
1
u
x
x
v
1
x 2 y 2 dy
dx =
√
uv
1
1
x 2
−
1
y
u
x
x
v
dx
=
√
uv
1
−
1
xu
+
v
x 3
dx =
−
1
u
ln x −
v
2x 2
√
uv
1
= −
1
u
ln
√
uv −
v
2
1
uv
− 1
= −
1
2u
ln uv −
1
2u
+
v
2
·
Si v > 1, on obtient D = D
∪ D
, où
D
= {(x, y) ∈ R
2 , 1 x v, 1 y
u
x
}
D
= {(x, y) ∈ R
2 , v x
√
uv,
x
v
y
u
x
}
et donc
F(u, v) =
v
1
u
x
1
1
x 2 y 2 dy
dx +
√
uv
v
u
x
x
v
1
x 2 y 2 dy
dx
=
v
1
1
x 2
−
1
y
u
x
1
dx +
√
uv
v
1
x 2
−
1
y
u
x
x
v
dx
=
v
1
−
1
xu
+
1
x 2
dx +
√
uv
v
−
1
xu
+
v
x 3
dx
=
−
1
u
ln x −
1
x
v
1
+
−
1
u
ln x −
v
2x 2
√
uv
v
= −
1
u
ln v −
1
v
+ 1 −
1
u
ln
√
uv
v
−
1
2u
+
1
2v
= −
1
2u
ln uv + 1 −
1
2v
−
1
2u
·
Si (u, v] /
∈ A, on a u < 1, v < 1, uv < 1 ou u < v. On a alors dans les trois premiers cas
F(u, v) = P([U u] ∩ [V v]) = 0.
Si u < v, on obtient F(u, v) = P([U u]).
c. La fonction F est de classe C
2 sur R
2
\ B, où
B = {(u, v) ∈ [1, +∞[
2 , u = v ou uv = 1 ou v = 1 ou u = 1}.
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