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SOLUTIONS
Solutions
3. Pour tout y ∈ R, on a f Y (y) = 0, donc la densité conditionnelle f X/[Y =y] est définie et,
pour tout x ∈ R,
f X/[Y =y] (x) =
f (x, y)
f Y (y)
=
1
2p
1 − r 2
exp
−
1
2(1 − r 2 )
(x
2
− 2rxy + y
2 )
√
2pe
y 2
2
=
1
2p(1 − r 2 )
exp
−
1
2(1 − r 2 )
(x
2
− 2rxy + r
2 y
2 )
=
1
2p(1 − r 2 )
exp
−
1
2(1 − r 2 )
(x − ry)
2
.
La loi de X conditionnelle à [Y = y] est la loi normale N (ry, 1 − r
2 ).
Le résultat est le même pour la loi de Y conditionnelle à [X = x].
13.
1. La fonction f est positive et continue sauf en 1 et pour tout a 1,
a
1
1
x 2 dx = −
1
a
+ 1. On en déduit
+∞
1
1
x 2 dx = lim
a→+∞
−
1
a
+ 1 = 1 et donc
+∞
−∞
f (x) dx = 1. Ainsi f est une densité de probabilité.
2. a. Les variables X et Y sont à valeurs dans [1, +∞[ donc U est à valeurs dans [1, +∞[
et V à valeurs dans R
∗
+ . On a de plus UV = X
2 et
U
V
= Y
2 donc UV et
U
V
sont à
valeurs dans [1, +∞[. Cela montre que (U, V ) est à valeurs dans A.
b. Soit (u, v) ∈ A. Comme les variables X et Y sont indépendantes, une densité du couple
(X, Y ) est (x, y) −→ f (x)f (y). On en déduit que
F(u, v) = P([U u] ∩ [V v]) = P
[XY u] ∩
X
Y
v
=
D
f (x)f (y) dx dy,
où D = {(x, y) ∈ {1, +∞[
2 , xy u,
x
y
v}.
Soit x et y deux réels strictement positifs. Alors (x, y) ∈ D si x 1, y 1 et
x
v
y
u
x
. Pour que cela soit possible, il faut
x
v
u
x
, c’est-à-dire x
√
uv.
Comme uv 1, on obtient 1 x
√
uv et donc
D = {(x, y) ∈ R
2 , 1 x
√
uv,
x
v
y
u
x
, y 1}.
Si v 1, on a, pour x 1, y
x
v
1
v
1 et
D = {(x, y) ∈ R
2 , 1 x
√
uv,
x
v
y
u
x
}.
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