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SOLUTIONS
Solutions
b. Sous réserve de convergence, on a
E(X) =
+∞
0
xg a,l (x) dx =
l
a
G(a)
+∞
0
e
−lx x
a dx.
Il résulte de la question précédente que, pour tout a > 0,
+∞
0
e
−lx x
a−1 dx converge
et vaut
G(a)
l a . On en déduit que
+∞
0
e
−lx x
a dx converge et vaut
G(a + 1)
l a+1 . Ainsi E(X)
existe et
E(X) =
l
a
G(a)
G(a + 1)
l a+1 =
G(a + 1)
lG(a)
=
a
l
,
car G(a + 1) = aG(a).
De même sous réserve de convergence,
E(X
2 ) =
l
a
G(a)
+∞
0
e
−lx x
a+1 dx.
Par le même raisonnement,
+∞
0
e
−lx x
a+1 dx converge et vaut
G(a + 2)
l a+2 . Ainsi X possède un moment d’ordre 2 et
E(X
2 ) =
l
a
G(a)
G(a + 2)
l a+2 =
G(a + 2)
l 2 G(a)
=
a(a + 1)
l 2 ,
car en appliquant deux fois le résultat de la première question, on obtient
G(a + 2) = (a + 1)G(a + 1) = (a + 1)aG(a).
On en déduit que X possède une variance
V (X) = E(X
2 ) −
E(X)
2 =
a(a + 1)
l 2 −
a
2
l 2 =
a
l 2 ·
2. a. Les variables X et Y étant indépendantes, X + Y possède une densité f donnée par le
produit de convolution de g a,l et g b,l . Les variables X et Y étant positives, f est nulle
sur R − et d’après le corollaire 1 page 371, on a, pour x > 0,
f (x) =
x
0
g a,l (t)g b,l (x − t) =
l
a+b
G(a)G(b)
x
0
e
−lt t
a−1 e
−l(x−t) (x − t)
b−1 dt
=
l
a+b
G(a)G(b)
e
−lx
x
0
t
a−1 (x − t)
b−1 dt.
On fait le changement de variable u =
t
x
· On obtient, pour x > 0,
f (x) =
l
a+b
G(a)G(b)
e
−lx
1
0
(xu)
a−1 (x(1 − t))
b−1 x du
=
l
a+b
G(a)G(b)
e
−lx x
a+b−1
1
0
t
a−1 (1 − t)
b−1 dt.
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