Chapitre 11 – Couples de variables à densité
Passons au cas général et supposons que X suit une loi C(a) et Y une loi C(b). D’après
la question a,
1
a
X suit une loi C(1) et
1
a
Y suit une loi C
b
a
. De b, on déduit
que
1
a
X +
1
a
Y suit une loi C
b + a
a
. En utilisant de nouveau a, on obtient que
X + Y = a
1
a
X +
1
a
Y
suit une loi C(a + b), ce qui est le résultat demandé.
11.
1. a. La fonction w : x −→ e
−x x
a−1 est continue et positive sur ]0, +∞[. On a
w(x) ∼
x→0
1
x 1−a · Comme 1 − a < 1, car a > 0
1
0
1
x 1−a dx converge et il en est de
même de
1
0
w(x) dx.
D’autre part, au voisinage de +∞, w(x) = o
1
x 2
donc
+∞
1
w(x) dx converge.
Finalement l’intégrale G(a) est convergente pour tout a.
Pour a > 0, G(a) et G(a + 1) sont toutes deux définies. On intègre par parties, en
dérivant la fonction puissance. Pour 0 < a < b, on a
b
a
e
−x x
a dx =
−e
−x x
a
b
a
+ a
b
a
e
−x x
a−1 dx.
On a lim
x→0
e
−x x
a = 0, car a > 0 et lim
x→+∞
e
−x x
a = 0, par croissance comparée d’une
fonction puissance et d’une exponentielle. En faisant tendre a vers 0 et b vers +∞, on
obtient
G(a + 1) = aG(a).
La fonction g a,l (x) est continue sauf peut-être en 0 et positive. Reste à montrer que
+∞
0
g a,l (x) dx converge et vaut 1. Pour 0 < a < b, on obtient avec le changement
de variable t = lx,
b
a
g a,l (x) dx =
l
a
G(a)
b
a
e
−lx x
a−1 dx =
l
a
G(a)
lb
la
e
−t
t
l
a−1 1
l
dt
=
1
G(a)
lb
la
e
−t t
a−1 dt.
Quand a tend vers 0 et b vers +∞,
1
G(a)
lb
la
e
−t ß
a−1 dt tend vers
1
G(a)
+∞
0
e
−t t
a−1 dt =
G(a)
G(a)
= 1.
Autrement dit,
+∞
0
g a,l (x) dx converge et vaut 1.
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